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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - gleichungen höheren grades

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gleichungen höheren grades: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:24 Mi 25.05.2005
Autor:	xxlfeuerwalze

Hi!
( [mm] x-2)^2 [/mm] ( x+2)= 4(x+2)

Lösungsmenge: x1=-2 , x2= 3, x3= -1

....
habe zuerst beide Seiten durch (x+2) genommen und bin so auf die Lösungen 3 und -1 gekommen. Seit über einer Stunde versuche ich auf die 3. Lösung, hier -2 zu kommen. Wäre auch nett, wenn mir Jemand die Probe zeigen könnte- bin schon zu lange raus.

Vielen Dank an die / den Helfer/in !!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

gleichungen höheren grades: Vorgehensweise

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:42 Mi 25.05.2005
Autor:	Loddar

Hallo Hamann!

[willkommenmr]

Tja, diese 3. Lösung hast Du gleich in Deinem ersten Umformungsschritt eliminiert, indem Du durch den Term $(x+2)$ geteilt hast.

Zuvor mußt Du Dich nämlich vergewissern, daß Du nicht durch Null teilst (was ja bekanntermaßen seit der 1. Klasse ;-)

verboten ist!).

Wenn Du aber eine Fallunterscheidung machst, gelangst Du ohne "Lösungsverlust" zum Ziel:

1. $x+2 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Nun darfst Du durch $(x+2)$ teilen und erhältst Deine beiden genannten Lösungen.

2. $x+2 \ = \ 0$  [mm] $\gdw$ [/mm]  $x \ = \ -2$
Hier nun den Wert $x \ = \ -2$ in die Ursprungsgleichung einsetzen und untersuchen, ob Du eine wahre Aussage erhältst. Dies tritt hier auf, und Du weißt nun: auch $x \ = \ -2$ ist Element der Lösungsmenge.

Besser ist aber eine andere Vorgehensweise:

[mm] $(x-2)^2 [/mm] *(x+2) \ = \ 4*(x+2)$   $| \ -4*(x+2)$

[mm] $(x-2)^2 [/mm] *(x+2) -4*(x+2) \ = \ 0$   $| \ (x-2)$ ausklammern

[mm] $(x+2)*\left[(x-2)^2 *1 - 4*1\right] [/mm] \ = \ 0$

[mm] $(x+2)*\left[(x-2)^2 - 4\right] [/mm] \ = \ 0$

Da ein Produkt genau dann Null wird, wenn (mind.) einer der Faktoren Null wird, können wir sagen:

$(x+2) \ = \ 0$  oder   [mm] $(x-2)^2 [/mm] - 4 \ = \ 0$

Nun beide Gleichungen getrennt nach x auflösen ...

Gruß
Loddar