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gleichmäßige konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Fr 18.05.2012
Autor: Schadowmaster

Aufgabe
Finde eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)$, [/mm] sodass
1) [mm] $f_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] differenzierbar ist
2) [mm] $(f_n)$ [/mm] gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion $f$ konvergiert
3) $f$ nicht differenzierbar ist

moin,

Zuerst sollte ich wohl sagen, dass sich das alles im [mm] $\IR$ [/mm] abspielen soll.
Dann suche ich auch nicht mehr nach einer solchen Funktion, denn da habe ich schon einige Beispiele gesehen.
Mein Problem ist, dass ich selbst ein Beispiel habe bzw. zu haben glaube, aber das nicht zeigen kann:
[mm] $f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} |x|, & \mbox{für } |x|\geq \frac{1}{n}\\ -n^3x^4+\frac{n^2}{2}x^3+2nx^2-\frac{1}{2}x, & \mbox{sonst }\end{cases}$ [/mm]

Wie ihr seht war mein Plan eine Funktionenfolge zu konstruieren, die gegen die Betragsfunktion konvergiert.
Diese tut das auch; zumindest punktweise.
Überdies ist sie auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar; und ja, die Polynomfunktion dafür ist etwas unschön geworden, sorry.^^
Nun bleibt aber die Frage: konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen die Betragsfunktion?
Leider weiß ich noch nicht so viel über Funktionsfolgen und/oder mir liegt das Thema nicht, von daher finde ich leider keine Möglichkeit die glm. Konvergenz zu beweisen oder zu widerlegen.

Danke schonmal für Tipps und Hilfe.

lg

Schadow

        
Bezug
gleichmäßige konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Fr 18.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

zeige [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty \to [/mm] 0$ und du bist fertig.
Das ist hier zwar nicht schön, aber durchaus machbar :-)

MFG,
Gono.

Bezug
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