gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Fr 11.04.2008 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | | Seien [mm](M,d_M),(N,d_N)[/mm] metrische Räume, [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Cauchyfolge in M und [mm]f: M\to N[/mm] gleichmäßig stetig. Zeigen sie, dass [mm](f(x_n))_{n\in \IN}[/mm] ebenfalls eine Cauchyfolge ist. |
Hi
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Vor allem die gleichmäßige Stetigkeit verwirrt mich. Könnte mir bitte jemand diese Aufgabe, und die gleichmäßige Stetigkeit erklären?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm](M,d_M),(N,d_N)[/mm] metrische Räume, [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm]
> eine Cauchyfolge in M und [mm]f: M\to N[/mm] gleichmäßig stetig.
> Zeigen sie, dass [mm](f(x_n))_{n\in \IN}[/mm] ebenfalls eine
> Cauchyfolge ist.
> Hi
>
> Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Vor allem die
> gleichmäßige Stetigkeit verwirrt mich. Könnte mir bitte
> jemand diese Aufgabe, und die gleichmäßige Stetigkeit
> erklären?
ähm, zu Deiner ersten Frage: Ja!
Zu Deiner zweiten Frage: Nein, das kannst Du nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit
Das einzige, was ich sage, ist: Bei der glm. Stetigkeit einer Funktion gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$ (also [mm] $\delta$ [/mm] maximal von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängig), so dass [mm] $\mbox{für alle}$ [/mm] $x,y$ aus dem Definitionsbereich [mm] $D_f$ [/mm] der Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ gilt:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $d_X(x,y) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt [mm] $d_Y(x,y) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe:
[mm] $(f(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge in $N$. Du sollst zeigen, dass sie Cauchy ist, also:
Zu zeigen:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $L=L_\varepsilon \in \IN$, [/mm] so dass für alle $m,n [mm] \ge [/mm] L$ gilt, dass [mm] $d_N(f(x_n),f(x_m)) [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Dazu:
Gebe Dir ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor. $f$ ist glm. stetig, also wähle ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ aus der Definition der glm. Stetigkeit der Funktion. Dann gilt:
[mm] $(\*)$ [/mm] Sind $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $d_M(x,y) [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] so folgt [mm] $d_N(f(x),f(y)) [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Jetzt nutze aus, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in $M$ ist. Zu [mm] $\varepsilon\,':=\delta [/mm] > 0$ gibt es dann ein $L [mm] \in \IN$...
[/mm]
D.h., alle Folgeglieder mit Index $n,m$, wobei $n,m [mm] \ge [/mm] L$, haben einen Abstand, der kleiner ist als...
Schau in [mm] $(\*)$ [/mm] nach, was die Konsequenz für den Abstand der Folgeglieder [mm] $f(x_n)$, $f(x_m)$ [/mm] ist, wenn $n,m [mm] \ge [/mm] L$...
Gruß,
Marcel
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