gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
(a) [mm] f_n: [0,1]\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto x(1-x)^n [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion |
Hallo zusammen. Bei gleichmäßiger Konvergenz gilt es ja nach Definition ein [mm] N\in\IN [/mm] zu finden, dass nicht von x abhängt, sondern nur von Epsilon. Ich habe einfach das Maximum bestimmt und habe dann nach oben abgeschätzt:
Das Maximum von [mm] f(x)=x(1-x)^n [/mm] liegt bei [mm] x=\bruch{1}{n+1}, [/mm] also:
[mm] x(1-x)^n
[/mm]
[mm] \le\bruch{1}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n+1}(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n
[/mm]
[mm] \le\bruch{1}{n}
[/mm]
Zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] wähle dann [mm] N:=\lceil\bruch{1}{\varepsilon}\rceil
[/mm]
dann gilt für n>N: [mm] |x(1-x)^n-0|\le\bruch{1}{n}<\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}=\varepsilon
[/mm]
Darf man überhaupt so vorgehen? Ich wüsste nicht wie ich sonst das x verschwinden lassen könnte.
Grüße, Kulli
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