gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] \summe_{v=0}^{ \infty} \bruch{1}{(x + v)(x+v+1)} [/mm] auf [mm] \IR_{+} [/mm] gegen f(x) := [mm] \bruch{1}{x} [/mm] konvergiert. |
Hallo zusammen,
hab diese Aufgabe zum Thema "gleichmäßige Konvergenz" versucht zu lösen, jedoch macht mir die Musterlösung ein wenig Kopfzerbrechen. Die lautet wie folgt:
[mm] \summe_{v=0}^{n} \{1}{x+v}{x+v+1} [/mm] = [mm] \summe_{v=0}^{n} (\bruch{1}{x+v} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x+v+1} [/mm] ) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x+n+1}.
[/mm]
Also konvergiert die Funktionenreihe punktweise gegen f(x).
Ist x>0, so ist |f(x) - [mm] S_{n}(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n+1}.
[/mm]
Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz.
So nun zu meiner Frage. Wieso geht der Lösungsweg (übrigens vom Prof Fritzsche persönlich) erst über die punktweise Konvergenz? Warum sie punktweise konvergiert, verstehe ich.
Und warum heißt es |f(x) - [mm] S_{n}(x)| [/mm] ?? Ich kenne nur die Definition der gleichmäßigen Konvergenz mit [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] . In diesem Fall ist wohl [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] das [mm] \varepsilon [/mm] ??!?!?!?
Wie würde es denn mit der üblichen Vorgehensweise bei Ermittlung der gleichmäßigen Konvergenz aussehen? Wie geht man denn dann an diese Aufgabe ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen sie, dass [mm]\summe_{v=0}^{ \infty} \bruch{1}{(x + v)(x+v+1)}[/mm]
> auf [mm]\IR_{+}[/mm] gegen f(x) := [mm]\bruch{1}{x}[/mm] konvergiert.
> Hallo zusammen,
>
> hab diese Aufgabe zum Thema "gleichmäßige Konvergenz"
> versucht zu lösen, jedoch macht mir die Musterlösung ein
> wenig Kopfzerbrechen. Die lautet wie folgt:
>
> [mm]\summe_{v=0}^{n} \{1}{x+v}{x+v+1}[/mm] = [mm]\summe_{v=0}^{n} (\bruch{1}{x+v}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{x+v+1}[/mm] ) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x+n+1}.[/mm]
> Also konvergiert die Funktionenreihe punktweise gegen
> f(x).
> Ist x>0, so ist |f(x) - [mm]S_{n}(x)|[/mm] = [mm]\bruch{1}{x+n+1}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n+1}.[/mm]
> Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz.
>
>
> So nun zu meiner Frage. Wieso geht der Lösungsweg (übrigens
> vom Prof Fritzsche persönlich) erst über die punktweise
> Konvergenz? Warum sie punktweise konvergiert, verstehe
> ich.
Es ist ein wenig ueberfluessig: Er haette mit dem zweiten Argument (''Ist x>0, so ist [mm]|f(x) - S_{n}(x)| = \bruch{1}{x+n+1} < \bruch{1}{n+1}.[/mm]'') direkt die gleichmaessige Konvergenz bekommen koennen.
> Und warum heißt es |f(x) - [mm]S_{n}(x)|[/mm] ?? Ich kenne nur die
> Definition der gleichmäßigen Konvergenz mit [mm]|f_{n}(x)[/mm] -
> f(x)| < [mm]\varepsilon[/mm] . In diesem Fall ist wohl
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] das [mm]\varepsilon[/mm] ??!?!?!?
Also [mm] $S_n(x)$ [/mm] ist ja [mm] $f_n(x)$.
[/mm]
Und dann benutzt er, dass $|f(x) - [mm] f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und alle $x$ und alle $n [mm] \ge N(\varepsilon)$ [/mm] (also die normale Definition von glm. konv.) aequivalent dazu ist, dass es eine Folge [mm] $M_n \to [/mm] 0$ gibt mit $|f(x) - [mm] f_n(x)| [/mm] < [mm] M_n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] fuer alle $x$.
(Die Aequivalenz solltest du dir mal ueberlegen: Sie folgt direkt aus der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] der Folgenkonvergenz.)
> Wie würde es denn mit der üblichen Vorgehensweise bei
> Ermittlung der gleichmäßigen Konvergenz aussehen? Wie geht
> man denn dann an diese Aufgabe ran?
Etwa so (mit den gleichen Zwischenrechnungen wie oben):
Sei ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Sei [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{n_0 + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] Dann gilt fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x$, dass $|f(x) - [mm] S_n(x)| \le \frac{1}{n + 1} \le \frac{1}{n_0 + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist. Also konvergiert [mm] $S_n$ [/mm] gleichmaessig gegen $f$.
LG Felix
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