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Forum "Stetigkeit" - gleichmäßig stetig?

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gleichmäßig stetig?: Frage (reagiert)

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	12:34 Sa 07.02.2009
Autor:	simplify

Aufgabe

 Weclhe dieser funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] sind stetig,welche gleichmäßig stetig?

|x| ; [mm] e^{x} [/mm] ; sin x ; [mm] \bruch{x^{3}+1}{x^{4}-1} [/mm] ; [mm] x^{2} [/mm]

hallo...
also nachdem was ich bis jetzt verstanden habe zur stetigkeit, würde ich behaupten, dass der bruch und sin x stetig sind und der rest gleichmäßig stetig ist. begründen bzw. erklären kann ich meine annahme nicht.es ist eher aus dem bauch herraus entschieden.
hab ich da ein gutes gefühl oder die stetigkeit doch noch nicht wirklich verstanden?
wie zeige ich den die stetigkeit?

Bezug

gleichmäßig stetig?: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	15:54 Sa 07.02.2009
Autor:	schachuzipus

Hallo simplify,

> Weclhe dieser funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm] sind stetig,welche
> gleichmäßig stetig?
>  |x| ; [mm]e^{x}[/mm] ; sin x ; [mm]\bruch{x^{3}+1}{x^{4}-1}[/mm] ; [mm]x^{2}[/mm]
>  hallo...
>  also nachdem was ich bis jetzt verstanden habe zur
> stetigkeit, würde ich behaupten, dass der bruch und sin x
> stetig sind und der rest gleichmäßig stetig ist.

begründen
> bzw. erklären kann ich meine annahme nicht.es ist eher aus
> dem bauch herraus entschieden.
> hab ich da ein gutes gefühl oder die stetigkeit doch noch
> nicht wirklich verstanden?

Da trügt dich dein Bauchgefühl aber beträchtlich!

Schreibe dir mal die [mm] $\varepsilon/\delta$-Definitionen [/mm] von Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit auf und mache dir den Unterschied der beiden Definitionen klar.

Dann stöbere weiter im Skript nach Zusammenhängen zwischen Stetigkeit und glm. Stetigkeit.

So gilt etwa $f$ glm. stetig [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ stetig

Die Umkehrung gilt nicht.

Aber mit Kontraposition: $f$ nicht stetig [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ nicht glm. stetig

Das hilft dir bei deinen Aufgaben ...

Weiter schaue dir an, wie es mit dem Zusammenhang Lipschitzstetigkeit und glm. Stetigkeit aussieht (Stichwort: Beschränktheit der 1. Ableitung, also $|f'(x)|<M$ für ein [mm] $M\in\IR^+$) [/mm]

Schlage das mal alles nach und verschaffe dir einen Überblick, wir können (und wollen) deine VL nicht ersetzen.

Wenn du das getan hast, wird dein Bauchgefühl bzgl. der Aufgaben dir besser weiter helfen ;-)

Frage dann konkret nach mit Ansätzen

> wie zeige ich den die stetigkeit?

Im Zweifel mit der [mm] $\varepsilon/\delta$-Definition; [/mm]

Der Bruch zB. hat eine Polstelle (wo?) Kann es also auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig sein?

Und was folgt aus der Nicht-Stetigkeit?

Also, nachschlagen und vertraut machen mit den Def.!

LG

schachuzipus