gleichgradige Stetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 11.06.2010 | | Autor: | buef |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf gleichgradige Stetigkeit:
i) {x [mm] \mapsto x^n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset [/mm] C([0,1])
ii) {x [mm] \mapsto x^n/n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset [/mm] C([0,1])
iii) {x [mm] \mapsto x^n/n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset [/mm] C([0,2]) |
Habe schon angefangen. Bitte kontrollieren
i) ZZ [mm] |x-x_0|<=\delta \Rightarrow |x^n [/mm] - [mm] x_0^n|<=\epsilon
[/mm]
Sei [mm] b\in (0,1-x_0) [/mm] so ist x [mm] \in [x_0-b,x_0+b]
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x^n -x_0^n [/mm] | = |x - [mm] x_0| \summe_{k=0}^{n-1}x^kx^{n-1-k} [/mm] <= [mm] |x-x_0|\summe_{k=0}^{n-1}(x_0+b)^{n-1} [/mm] <= [mm] |x-x_0|n(x_0+b)^{n-1}
[/mm]
Wähle nun [mm] \delta [/mm] = [mm] \eps/p [/mm] wobei [mm] p:=sup{|x-x_0|n(x_0-b)^{n-1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(x_0+b)^{n-1}}
[/mm]
ii) ZZ [mm] |x-x_0|<=\delta \Rightarrow |\bruch{x^n}{n} [/mm] - [mm] \bruch{x_0^n}{n}|<=\epsilon
[/mm]
Sei [mm] b\in (0,1-x_0) [/mm] so ist x [mm] \in [x0-b,x_0+b]
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{x^n}{n}-\bruch{x_0^n}{n}|=\bruch{1}{n}|x^n -x_0^n|<=(x-x_0)(x-b)^{n-1}
[/mm]
Wähle nun [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon/p [/mm] wobei [mm] p:=sup{|x-x_0|(x_0-b)^{n-1}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta=4\epsilon
[/mm]
iii) Würde ich später posten, wenn die i und ii richtig ist!
Besten Dank schonmal fürs rüber schauen!
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Hallo!
> i) ZZ [mm]|x-x_0|<=\delta \Rightarrow |x^n[/mm] - [mm]x_0^n|<=\epsilon[/mm]
Ja. Hier ist aber zu bemerken: [mm] \delta [/mm] darf weder von [mm] x,x_{0} [/mm] noch von n abhängen, sondern NUR von [mm] \varepsilon [/mm] !
Genauer lautet die Definition der gleichgradigen Stetigkeit von [mm] f_n [/mm] in einem Intervall I:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0: [mm] \forall n\in\IN:\forall x,x_{0}\in [/mm] I: [mm] |x-x_{0}|<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow |f_n(x)-f_n(x_{0})|<\varepsilon$
[/mm]
> Sei [mm]b\in (0,1-x_0)[/mm] so ist x [mm]\in [x_0-b,x_0+b][/mm]
Ich verstehe nicht, was du mit diesem b bezweckst.
> [mm]\Rightarrow |x^n -x_0^n[/mm] | = |x - [mm]x_0| \summe_{k=0}^{n-1}x^kx^{n-1-k}[/mm]
> <= [mm]|x-x_0|\summe_{k=0}^{n-1}(x_0+b)^{n-1}[/mm] <=
> [mm]|x-x_0|n(x_0+b)^{n-1}[/mm]
>
> Wähle nun [mm]\delta[/mm] = [mm]\eps/p[/mm] wobei
> [mm]p:=sup{|x-x_0|n(x_0-b)^{n-1}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] = [mm]\bruch{1}{n(x_0+b)^{n-1}}[/mm]
Wie gesagt, das funktioniert so nicht, weil [mm] \delta [/mm] nicht von n und x abhängen darf. Die Idee, die du in deinem Beweis aber anbringst, ist aber schon ein guter Ansatz: $f(x) = [mm] x^{n}$, [/mm] sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig. Dann:
[mm] $|f_n(x)-f_n(x_{0})| [/mm] = [mm] |x^{n}-x_{0}^{n}| [/mm] = [mm] |x-x_{0}|*\left|\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}*x_{0}^{(n-1)-k}\right| \le |x-x_{0}|*\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}*|x_{0}|^{(n-1)-k}$
[/mm]
Nun nutzen wir aus, dass I = [0,1], also $|x| < 1, [mm] |x_{0}| [/mm] < 1$:
[mm] $\le |x-x_{0}|*\sum_{k=0}^{n-1}1 \le |x-x_{0}|*(n-1)$
[/mm]
Nun müssten wir [mm] \delta [/mm] immer noch von n abhängig wählen. In Anbetracht, dass ich aber oben nur "scharfe" Abschätzungen gemacht habe, liegt nun der Gedanke nahe, dass [mm] $x^{n}$ [/mm] gar nicht gleichgradig stetig ist. Überlege also, ob du mit Hilfe der Definition von gleichgradiger Stetigkeit widerlegen kannst, dass [mm] x^{n} [/mm] gleichgradig stetig ist.
Den obigen Beweis kannst du aber womöglich für (ii) und vielleicht (iii) benutzen.
> ii) ZZ [mm]|x-x_0|<=\delta \Rightarrow |\bruch{x^n}{n}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_0^n}{n}|<=\epsilon[/mm]
> Sei [mm]b\in (0,1-x_0)[/mm] so ist x [mm]\in [x0-b,x_0+b][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{x^n}{n}-\bruch{x_0^n}{n}|=\bruch{1}{n}|x^n -x_0^n|<=(x-x_0)(x-b)^{n-1}[/mm]
>
> Wähle nun [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon/p[/mm] wobei
> [mm]p:=sup{|x-x_0|(x_0-b)^{n-1}}=\bruch{1}{4}[/mm]
Wie kommst du darauf, dass das 1/4 ist?
Grüße,
Stefan
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