gleiche Eigenvektoren? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo,
wir hatten letztens einen Beweis, den ich nicht so ganz nachvollziehen kann. Die Stelle lautet:
Sei [mm] 0<\lambda \in \mathbb{R} [/mm] Eigenwert der Matrix [mm] M:=B^{-1}A [/mm] und x ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist x Eigenvektor von [mm] I_n-aM [/mm] zum Eigenwert [mm] 1-a\lambda.
[/mm]
Ich habe dazu folgende Fragen: Wenn ich eine Matrix mit einem Skalar multipliziere, sind dann die Eigenwerte die gleichen, nur auch mit dem Skalar multipliziert? Z.B. Wenn ich eine Matrix T habe mit EW [mm] \lambda_1=1 [/mm] und ich multipliziere 2*T, folgt dann, dass [mm] \lambda_1'=2 [/mm] EW von 2T ist? Oder sind ads noch die selben Eigenwerte? Und warum haben die Matrizen den selben Eigenvektor?
Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wir hatten letztens einen Beweis, den ich nicht so ganz
> nachvollziehen kann. Die Stelle lautet:
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> Sei [mm]0<\lambda \in \mathbb{R}[/mm] Eigenwert der Matrix
> [mm]M:=B^{-1}A[/mm] und x ein zugehöriger Eigenvektor. Dann ist x
> Eigenvektor von [mm]I_n-aM[/mm] zum Eigenwert [mm]1-a\lambda.[/mm]
Das kannst Du doch locker nachrechnen:
Aus Mx= [mm] \lambda [/mm] x folgt:
[mm] (I_n-aM)x=x-aMx=x-a(\lambda [/mm] x)=(1-a [mm] \lambda)x
[/mm]
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> Ich habe dazu folgende Fragen: Wenn ich eine Matrix mit
> einem Skalar multipliziere, sind dann die Eigenwerte die
> gleichen, nur auch mit dem Skalar multipliziert? Z.B. Wenn
> ich eine Matrix T habe mit EW [mm]\lambda_1=1[/mm] und ich
> multipliziere 2*T, folgt dann, dass [mm]\lambda_1'=2[/mm] EW von 2T
> ist? Oder sind ads noch die selben Eigenwerte? Und warum
> haben die Matrizen den selben Eigenvektor?
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von T und x ein zugehöriger Eigenvektor, also
$ Tx= [mm] \lambda*x.$
[/mm]
Sei nun [mm] \beta [/mm] ein Skalar und $S:= [mm] \beta [/mm] T.$
Dann ist $Sx= [mm] \beta [/mm] Tx= [mm] \beta* \lambda [/mm] x$
Also ist [mm] $\beta* \lambda$ [/mm] ein Eigenwert von S und x ist ein zugeh. Eigenvektor.
FRED
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> Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
> Danke
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