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| Aufgabe | Sei a: U -> [mm] \IR^3 [/mm] Parametrisierung einer glatten Raumfläche S um p [mm] \in [/mm] S, [mm] a_{u}, a_{v} [/mm] die "a-kanonische Basis" der Tangentialebene [mm] T_{p}S [/mm] von S in p und N(p) ein Normaleneinheitsvektor von S in p.
Man zeige, dass die durch [mm] f(a_{u}) [/mm] := N(p) x [mm] a_{u}, f(a_{v}) [/mm] := N(p) x [mm] a_{v} [/mm] definierte lineare Abbildung von [mm] T_{p}S [/mm] in sich eine Isometrie von [mm] T_{p}S [/mm] ist und gebe die Matrix von f an bezüglich der a-kanonischen Basis von [mm] T_{p}S. [/mm] |
Hallo!
Mir fehlt jegliche Idee diese Aufgabe auf Papier zu bringen...
Kann mir wer helfen??*liebgugg*
Lg
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Hallo Uschi,
mal ein paar tips dazu, genau durchdenken musst das schon auch du! alle infos, die man für die aufgabe braucht, sind eigentlich elementare aussagen über skalarprodukt und kreuzprodukt, die man auf wikipedia finden kann....
Also [mm] $f:T_p [/mm] S [mm] \to T_p [/mm] S$ ist gegeben durch [mm] $f(t)=N(p)\times [/mm] t, [mm] t\in T_p [/mm] S$.
zu zeigen ist [mm] $=, \forall t_1,t_2\in T_p [/mm] S$
fangen wir an:
[mm] $=$
[/mm]
Nun lösen wir das Skalarprodukt auf
[mm] $...=|N\times t_1|\cdot |N\times t_2|\cdot \cos \theta$,
[/mm]
wobei [mm] $\theta$ [/mm] der Winkel zwischen den [mm] $N\times t_i$ [/mm] ist. Weiter gilt
[mm] $...=|t_1|\cdot |t_2| \cdot \cos \theta$, [/mm] (definition des K-produktes)
man muss sich nun klarmachen, zB mit der drei-finger-regel für das kreuzprodukt, dass [mm] $\theta$ [/mm] auch der winkel zwischen den [mm] $t_i$ [/mm] ist, deshalb
[mm] $...=$. [/mm] Erster Teil erledigt.
Zum zweiten Teil der Aufgabe: du musst koeffizienten [mm] $\mu_1,\mu_2$ [/mm] finden, so dass
[mm] $f(a_u)=N(p)\times a_u=\mu_1\cdot a_u [/mm] + [mm] \mu_2\cdot a_v$ [/mm] gilt. Analog für [mm] $f(a_v)$.
[/mm]
Helfen können dir dabei einige rechenregeln für das KP (->Wiki), wie zB. die Graßmann-Identität. Außerdem solltest du wohl die Normale als kreuzprodukt der a-kanonischen Basisvektoren [mm] $a_u$ [/mm] und [mm] $a_v$ [/mm] darstellen.
Am Ende wird dabei eine matrix herauskommen, die mit der ersten Fundamentalform zu tun hat (oder der Inversen). Habe das aber nicht zu ende gerechnet.
Gruß
Matthias
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