glatt verlaufende funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 19.08.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute
eine frage:
man sagt eine funktion verläuft für das menschliche auge "glatt", wenn sie mindestens 3mal stetig differenzierbar ist.
wenn wir jetzt beispielsweise die funktion [mm] x^2*cos(\bruch1x) [/mm] betrachten.
die ableigung ist nicht stetig und somit die funktion insbesondere nicht 3mal stetig diffbar, trotzdem verläuft diese vom reinen betrachten geplottet recht glatt oder nicht?
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 19.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh sie dir mal zwischen 0 und 0.01 an, und vergroessere in y Richtung. sie ist ja nur bei 0 nicht mehrfach differenzierbar, dort "zittert" sie je naeher an 0 umso staerker.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 19.08.2009 | | Autor: | AriR |
ok vielen dank schonmal :)
angenommen wir haben dann eine funktion f die 3mal stetig diffbar ist und die 4. ableitung oszilliert an einer stelle x stark hin und her und ist nicht stetig an dieser stelle.
das würde für die 3.ableitung bedeuten, dass die an dieser stelle zittert wie du schon gesagt hast.
für die 2.ableitung zittert sie demnach aber auch noch da zittern sowas in der art wie oszillieren ist, dies überträgt sich dann auf die erste ableitung und diese dann auf unser eigentlich funktion f.
müsste eine glatte funktion demnach nicht unendlich oft stetig differenzierbar sein?
gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 19.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ist die aussage "glatt nicht genau definiert. wenn du 2 halbkreise aneinander stzt (ying und yang) empfinden das viele als glatte kurve, die 2. ableitung ist aber unstetig.
2. bei deiner in 0 stetigen fkt sieht man ja eigentlich auch nix, nr dass die steigung oszilliert. Integrier sie und die flaeche oszilliert nicht so stark usw.
Es lohnt sich nicht ueber "glatt" en einer stelle zu reden. die obige Kurve aus 2 HK sieht glatt aus, wenn du sie aber fahren muesstest, wurdest du fluchen. daher sagt man, wenn di kruemmung noch sich sttig aendert kammman solche strassen bauen und findet sie glatt. sonst hat das keinerlei Bedeutung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 20.08.2009 | | Autor: | AriR |
asoo :) die worte "stetige krümmungen" machen das ganze schon klarer, besten dank. von der seite hab ich das noch gar nicht betrachtet.
eine frage noch bitte :)
eine funktion, die nicht stetig diffbar ist, bedeutet dass immer dass die ableitung an einer oder mehrer stellen wie wild hin und her schwingt und somit die stetigkeit dadurch zerstört wird? kann es auch sein, dass eine ableitung sprungstellen hat (dies würde jedoch bewirken, dass die eigentliche funktion knicke hat welche nicht diffbar wären wenn ich mir das gerade richtig vorstelle) oder sonsige eigenschafte außer das "hin und her schwingen" die die stetigkeit zunicht machen?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ari
es gibt so viele stetige nicht diffb. Kurven, dass im Sinne der Stetigkeit die "normalen" Kurven, mit denen du so meist umgehst die wenigen Ausnahmen sind. entsprechend gilt das fuer alle anderen.
Mir jetzt mal rasch Beispiele fuer alle vorkomenden Faelle auszudenken hab ich keine lust. Kurven, bei denen die 1. Ableitung noch stetig, aber nicht mehr diffb. ist kann man leicht herstellen.
Nimm ne fkt, die bei 0 ne Sprungstelle hat, etwa f=x+1 fuer x>0 f=x fuer [mm] x\le0 [/mm] multiplizier sie mit [mm] x^2 [/mm] dann ist sie stetig, stetig diffb. und die 2. ableitung existiert nicht mehr in 0
Aber so Zeug ist eigentlich langweilig, und nur als Uebungsstoff fuer Anfaenger da. Wer soll sich fuer sowas interessieren?
Wenn du an sowas interessiert bist versuch mal selber Funktionen zu basteln.stell dir einfach vor du willst Erstsemester aergern.
Gruss leduart
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