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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Di 22.09.2009 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Durch die Gezeiten entstehen Strömungen, zum Beispiel in den engen Durchfahrten zwischen den
ostfriesischen Inseln. Die Stärke dieser Wasserströmungen (die für die Schifffahrt wichtig ist)
wird wesentlich auch davon bestimmt, wie stark das Wasser steigt oder fällt, mit anderen Worten
durch die jeweiligen Änderungsraten des Wasserstandes. Deshalb sollen hier die absolut maximalen
Änderungsraten des Wasserstandes und zugehörige Zeitpunkte bestimmt werden. Dazu müssten
– nach üblichem Verfahren – Nullstellen der 2. Ableitung der Funktion h ( s.o.
h( x ) = f ( x )⋅ g( x ) ) ermittelt werden, was aber – wenn man exakt rechnen will – relativ schwierig
bzw. umständlich ist. Nun ändert sich aber die Funktion f im Vergleich zur Funktion g relativ
wenig, so dass in der Nähe jedes Zeitpunktes 0 x der Wert 0 f ( x ) näherungsweise als konstanter
Faktor auf g( x )wirkt.
Betrachten Sie deshalb zunächst vereinfachend Gezeitenfunktionen, bei denen Hoch- und Niedrigwasser
jeweils immer den gleichen Wasserstand erreichen, bei denen also der Wasserstand zum
Zeitpunkt x durch k ⋅ g( x ) beschrieben wird mit einer Konstanten k ( k > 0 ) und bestimmen Sie
unter dieser Annahme die Stellen (Zeitpunkte), bei denen der Betrag der Änderungsrate des Wasserstandes
maximal wird.
Bestimmen Sie nun unter diesen vielen Zeitpunkten die beiden, die benachbart zum ersten Springzeitpunkt
sind, und begründen Sie, dass die dem Betrage nach absolut höchsten Änderungsraten
ziemlich genau hier zu erwarten sind. Bestimmen Sie deshalb diese beiden Änderungsraten und
rechnen Sie das Ergebnis auch in die Einheit cm/min um. |
Hi!
Das hier ist eine Teilaufgabe. Ich hab das andere mal weggelassen weils sonst ganz viel ist.
Also ich bin gerade bei der abivorbereitung und kann hierzu die lösungen nich nachvollziehen.
g(x) = sin ( 12x) f(x) = [mm] \bruch{3}{10} [/mm] * [mm] sin(\bruch{12}{30}x [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Wenn jemand die ganze Aufgabe lesen möchte hier der Link. Es handelt sich um Teilaufgabe c und die Lösung gibts direkt im Anschluss http://www.mint-hamburg.de/abitur/Ma1-LKLM-A-2006.pdf Seite 11
Und zwar steht folgendes bei den Lösungen:
Die Ableitung der Wasserstandsfunktion beschreibt deren Änderungsraten. Für
die Ableitung von k ⋅ g gilt: (k ⋅ g)′(x) =12k cos(12x) . Die Kosinusfunktion
hat Extremstellen bei x = n ⋅π , [mm] n\in \IZ [/mm] , die Funktion
(k ⋅ g)′ also bei x= n* [mm] \bruch{\pi}{12}
[/mm]
So, und zwar hab ich jetzt die Funktion k * g(x) abgeleitet und das ganze i(x) getauft. Dabei kam dann raus:
i'(x) = 12 k * cos (12x). Jetzt hab ich das ganze gleich null gesetzt und als extrema kam bei mir [mm] \bruch{1}{24}\pi. [/mm] Also dass das ganze periodisch ist, ist mir klar. Aber wieso kommen die in der Lösung auf x = n ⋅π beziehungsweise x= n* [mm] \bruch{\pi}{12}? [/mm] Dieses n nervt mich :) Ich kann damit absolut nichts anfangen, vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen für den das ganze sonnenklar ist.
Dankeschön schonmal und viele Grüße
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 22.09.2009 | | Autor: | Kueken |
Also ich glaube das mit dem n hab ich jetzt verstanden. Die reden von der normalen Kosinusfunktion, nicht wahr? Ok, aber was ist mit den [mm] \bruch{\pi}{12}? [/mm] wie kommen die darauf?
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Hallo, es ist ja die Funktion k*g(x) zu betrachten, also k*sin(12x), die Ableitung davon gibt die Änderungsrate an. also 12*k*cos(12x), jetzt ist ja nach den Extremstellen der Änderungsrate gefragt, also ist 12*k*cos(12x) erneut abzuleiten, du bekommst -144*k*sin(12x), jetzt gleich Null setzen
0=-144*k*sin(12x)
laut Aufgabenstellung ist k>0, also ungleich Null, es ist zu untersuchen
0=sin(12x)
du kennst die Funktion sin(x), die hat an den Stellen .... [mm] -2\pi, -\pi, [/mm] 0, [mm] \pi, 2\pi [/mm] ... jeweils Nullstellen, also allgemein ausgedrückt [mm] n*\pi [/mm] mit [mm] n\in\IZ, [/mm] die Funktion verläuft ja periodisch
0=sin(12x) hat an den Stellen [mm] ....-2*\bruch{\pi}{12}, -\bruch{\pi}{12}, [/mm] 0, [mm] \bruch{\pi}{12}, 2\bruch{\pi}{12}, [/mm] ... jeweils Nullstellen, also allgemein ausgedrückt [mm] n*\bruch{\pi}{12} [/mm] mit [mm] n\in\IZ
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mi 23.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wo cos siene maxima hat weiss man, naemlich Maxima wenn das Argument [mm] 0,2\pi ,..\pm n*2\pi [/mm] ist.
hier also wenn [mm] 12x=n*2\pi [/mm] , Minima bei [mm] \pi,3\pi [/mm] usw
Extrema also bei 12x=n*pi
Verstehst du jetzt die 12 im Nenner?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Kueken |
Vielen lieben Dank euch beiden!
Ja... ich habs verstanden :) Super Erklärung!
Viele Grüße
Kerstin
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