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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Ich habe ncoh eine weitere Aufgabe.
[mm] $\sum^\infty_{n=0}x^n [/mm] = - [mm] \sum^\infty_{n=1} x^{-n} [/mm] $
Die linke Summe ist erfüllt für |x| < 1, [mm] $\sum^\infty_{n=0}x^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}$
[/mm]
Dann die Rechte seite $- [mm] \sum^\infty_{n=1} x^{-n} [/mm] = - [mm] \sum^\infty_{n=0} (x^{-n}+1) [/mm] = [mm] -1-\sum^\infty_{n=0} x^{-n} =-1-\sum^\infty_{n=0} (\frac{1}{x})^{n} [/mm] = [mm] -1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$
[/mm]
Ist erfüllt für |x| > 1.
Hat das jetzt gar keine Lösung, ausser [mm] $x=+\infty$ [/mm] und [mm] $x=-\infty$
[/mm]
Oder komme ich auch hier nicht um das gleichsetzen drumherum?
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] -1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] -1-\frac{1}{\frac{x-1}{x}}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] -1-\frac{x}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] -\frac{x-1}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \frac{-x+1}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \frac{-x+1-x}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \frac{-2x+1}{x-1}$
[/mm]
EIGENTLICH darf hier keine Lösung herauskommen, aber wenn ich folgenden Schritt mache, geht es nicht mehr, was mache ich denn da falsch?
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] -\frac{2x-1}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \frac{2x-1}{-x+1}$
[/mm]
$1 = 2x-1$
$2x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1$
Also, das lässt sich nicht lösen, ist die Lösung dann [mm] x\in(\infty,-\infty) [/mm] oder wie lautet die Lösung in dem Fall?
Gruß, Wehm.
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Hallo Wehm!
Du machst einen Vorzeichenfehler bei der 2. Reihe:
[mm]- \sum^\infty_{n=1} x^{-n} = - \left( \ \sum^\infty_{n=0}x^{-n} \ \red{-} \ 1 \ \right) \ = \ \red{+}1-\sum^\infty_{n=0} x^{-n} \ = \ 1-\sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{x}\right)^{n} \ = \ 1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}[/mm]
Und auch hier würde ich dann wieder gleichsetzen ... allerdings widersprechen sich ja die beiden Konvergenzintervalle, so dass die Lösungsmenge leer ist.
Gruß vom
Roadrunner
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