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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 23.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n}:=(\summe_{k=0}^{n+1}x^{3k})-1 [/mm] mit |x|<1 |
Gilt die geo. Summe nur für [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}\to \bruch{1}{1-x}
[/mm]
oder gilt auch:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}x^{3k}=\bruch{1-x^{3(n+1)}}{1-x}\to \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Und falls das nicht gilt, würde ich mich über einen Tipp bei der Bestimmung des Grenzwertes sehr freuen.
Danke
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Hi,
> Sei [mm]a_{n}:=(\summe_{k=0}^{n+1}x^{3k})-1[/mm] mit |x|<1
> Gilt die geo. Summe nur für
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}\to \bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> oder gilt auch:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}x^{3k}=\bruch{1-x^{3(n+1)}}{1-x}\to \bruch{1}{1-x}[/mm]
Nein, hier fehlen zwischendurch ja immer wieder Summanden, und es ist klar, dass sich dadurch der Wert der Summe im Allgemeinen verändert.
>
> Und falls das nicht gilt, würde ich mich über einen Tipp
> bei der Bestimmung des Grenzwertes sehr freuen.
Wenn |x|<1, dann ist auch [mm] |x^3|<1. [/mm] Damit kann es trotzdem auf die geometrische Summe zurückgeführt werden.
Beachte noch [mm] x^{3k}=\left(x^3\right)^k
[/mm]
>
> Danke
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 23.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
alles klar, den fall [mm] x\ge [/mm] 0 hab ich dann mit [mm] an\to\bruch{1}{1-x^{3}}-1
[/mm]
und wie ist das bei x<0
dann kommt irgendwie
[mm] (\summe_{k=1}^{n+1}(-x)^{3k})-1=(\summe_{k=1}^{n+1}(-1)^{3k}x^{3k})-1
[/mm]
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> alles klar, den fall [mm]x\ge[/mm] 0 hab ich dann mit
> [mm]an\to\bruch{1}{1-x^{3}}-1[/mm]
>
> und wie ist das bei x<0
> dann kommt irgendwie
> [mm](\summe_{k=1}^{n+1}(-x)^{3k})-1=(\summe_{k=1}^{n+1}(-1)^{3k}x^{3k})-1[/mm]
Das Vorzeichen macht bei der Verwendung der geom. Summenformel keinen unterschied. Der Grenzwert ist gleich. es zählt nur, dass [mm] |x^3|<1
[/mm]
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 23.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
ok danke kamaleonti
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