geburtstags-paradoxon < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 02.04.2008 | | Autor: | nepal |
hallo zusammen
gesucht: anzahl tage in einem jahr (365 tage), für die die wsk am grössten ist, dass 100 person genau an sovielen verschiedenen tagen geburtstag haben? (jeder tag hat dabei die gleiche wsk)
bsp:
- wsk dass alle an einem einzigen tag geburtstag haben: [mm] \bruch{1}{365}^{99}
[/mm]
- wsk dass alle an verschiedenen (also 100) tagen geburtstag haben: [mm] \bruch{364!}{265!*365}
[/mm]
für welche anzahl tage ist nun die wsk am grössten?
für 2 und 3 tage habe ich die wsk noch berechnen können, doch ab dann gibt es immer mehr möglichkeiten...besten dank für eure hilfe
gruss nepal
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Do 03.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin nepal,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich finde, du hast uns hier eine ziemlich harte Nuss serviert. Hier
meine vorlaeufigen Ueberlegungen.
Ich meine, man kann das Problem allgemein so formulieren. Gegeben seien
zwei Mengen [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] mit [mm] $|\mathcal{A}|=M$ [/mm] und [mm] $|\mathcal{B}|=N$, $M\le [/mm] N$.
Gesucht ist die Anzahl [mm] $S_k$ [/mm] aller Abbildungen [mm] $f:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $|f[\mathcal{A}]|=k$, $k=1,\dots,M$.
[/mm]
In deinem Beispiel ist $M=100$ und $N=365$. Gesucht ist das maximale [mm] $S_k$, $k=1,\dots,M$.
[/mm]
Muss leider passen, fuerchte, das ist mir zu hoch. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
vg
Luis
Leider verraetst du uns nicht, wie deine Loesung fuer $k=2$ und $k=3$ aussieht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 06.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
habe mir die ganze Sache noch einmal durch den Kopf gehen lassen. Meine,
eine Loesung gefunden zu haben. Die geht so:
Ich gehe aus von meiner Antwort vom 3.4. Danach lautet die
Verallgemeinerung der Aufgabe:
Gegeben seien zwei Mengen $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ und $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ mit $ [mm] |\mathcal{A}|=M [/mm] $ und $ [mm] |\mathcal{B}|=N [/mm] $, $ [mm] M\le [/mm] N $. Gesucht ist die Anzahl $ [mm] S_k [/mm] $ aller Abbildungen{} $ [mm] f:\mathcal{A}\to\mathcal{B} [/mm] $ mit
$ [mm] |f[\mathcal{A}]|=k [/mm] $, $ [mm] k=1,\dots,M [/mm] $.
Es gibt [mm] $\binom{N}{k}$ [/mm] Moeglichkeiten, $k$-elementige Teilmenge
[mm] $\mathcal{B}_k\subset\mathcal{M}$. [/mm] Mithin ist die gesuchte Anzahl
[mm] $\binom{N}{k}\times\mbox{Anzahl aller surjektiven Abbildungen}\, \mathcal{A}\to\mathcal{B}_k$.
[/mm]
Laut https://matheraum.de/read?t=298890 ist diese Anzahl [mm] $\binom{N}{k}\times [/mm] k! [mm] S_{M,k}$.
[/mm]
Mithin ist die Wsk dafuer, dass $M$ Personen $k$ unterschiedliche
Geburtstage haben, gegeben durch [mm] $P(A_k)={\binom{N}{k}k!S_{M,k}}/{N^M}$. [/mm]
In unserem Fall ist $M=365$ und $M=100$. Es gilt also
[mm] $P(A_k)=\frac{\binom{365}{k}k!S_{100,k}}{365^{100}}$
[/mm]
zu maximieren. Laut Mathematica liegt das Maximum bei $k=98$ mit
[mm] $P(A_{98})=0.2647$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nepal |
kann mir nicht vorstellen dass die wahrscheinlichket rund 1/4 ist.
habe in mupad für k=98 0.00005159047454 erhalten, bin aber nicht so gut in mathe-programmen, habe float(365!/(365-98)!*combinat::stirling2(100,98)/365^100) eingegeben.
mein maximum liegt bei k=88, hier erhalte ich 0.1348788529, was mir realistischer erscheint.
gruss nepal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Di 08.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> kann mir nicht vorstellen dass die wahrscheinlichket rund
> 1/4 ist.
> habe in mupad für k=98 0.00005159047454 erhalten, bin aber
> nicht so gut in mathe-programmen, habe
> float(365!/(365-98)!*combinat::stirling2(100,98)/365^100)
> eingegeben.
> mein maximum liegt bei k=88, hier erhalte ich
> 0.1348788529, was mir realistischer erscheint.
Hallo nepal,
du verunsicherst mich, kann aber leider deine mupad-Eingabe nicht ueberpruefen.
Deswegen habe ich das Ganze einmal mit R simuliert.
Die Eingabe von
| 1: |
| | 2: | > jjf <- function(x)length(unique(sample(x,365,repl=T)))
| | 3: | > a <- sapply(rep(100,100000),jjf)
| | 4: | > plot(table(a))
| | 5: | > table(a)/100000
| | 6: | 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
| | 7: | 0.00001 0.00007 0.00042 0.00205 0.00752 0.02542 0.06844 0.14381 0.23274 0.26291 0.19075 0.06586
|
erbringt folgende Graphik. Das Maximum liegt bei 98 mit einer relativen Haeufigkeit von etwa 0.26.
vg Luis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 08.04.2008 | | Autor: | nepal |
hi luis!
vielen dank für deine bisherigen antworten!
meine überlegung ist nun, dass laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ab 23 personen die wsk, dass 2 personen am gleichen tag geburtstag haben, ~0.5 ist. also ist die wsk von 46 personen, dass 2 mal 2 personen am gleichen tag geburtstag haben, schon >0.25, und wird mit steigender anzahl personen sicher zunehmen. somit kann ich mir nicht vorstellen dass für 100 personen die wsk dass 2 mal 2 (bzw. 1 mal 3) personen am gleichen tag geburtstag haben immer noch rund 1/4 ist.
gruss nepal
edit: ich glaube den fehler gefunden zu haben, du hast die stirlingsche zahl 1. art statt 2. art verwendet, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Di 08.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo nepal,
>
> meine überlegung ist nun, dass laut
> Wikipedia
> ab 23 personen die wsk, dass 2 personen am gleichen tag
> geburtstag haben, ~0.5 ist. also ist die wsk von 46
> personen, dass 2 mal 2 personen am gleichen tag geburtstag
> haben, schon >0.25, und wird mit steigender anzahl personen
> sicher zunehmen. somit kann ich mir nicht vorstellen dass
> für 100 personen die wsk dass 2 mal 2 (bzw. 1 mal 3)
> personen am gleichen tag geburtstag haben immer noch rund
> 1/4 ist.
es sieht so aus, als ob wir aneinander vorbei reden, bzw. dass ich
deine Frage vielleicht doch nicht verstehe. Ich habe die folgenden
Fragen behandelt:
1) Wie gross ist die Wsk [mm] $P(A_k)$ [/mm] dafuer, dass $M=100$ Personen
insgesamt [mm] $k=1,2,\dots,M$ [/mm] unterschiedliche Geburtstage haben. Beispiel:
5 Personen mit den Geburtstagen 47,15,7,47,321 haben die vier
unterschiedlichen Geburtstage 7,15,47,321.
D.h. fuer jedes $k$ ist [mm] $P(A_k)$ [/mm] zu berechnen.
2) Fuer welches $k$ wird [mm] $P(A_k)$ [/mm] maximal?
Fuer $k=1$ ist [mm] $P(A_1)=365\times (1/365)^{100}=1/395^{99}$, [/mm] was mit
deinem Ergebnis uebereinstimmt. Du schriebst in deinem ersten Posting
für 2 und 3 tage habe ich die wsk noch berechnen können, aber
nach wie vor schreibst du nicht, was du erhalten hast. Dann haette man
mal vergleichen koennen ...
Inzwischen habe ich den Eindruck gewonnen, dass du etwas ganz Anderes
bestimmen willst. Was, ist mir unklar. Vielleicht bringt ein anderes Mitglied
(Rainer?) mal etwas Licht ins Dunkel.
vg Luis
> edit: ich glaube den fehler gefunden zu haben, du hast die
> stirlingsche zahl 1. art statt 2. art verwendet, richtig?
Nein.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 08.04.2008 | | Autor: | nepal |
sorry für die verwirrungen, habe wohl einfach nicht genügend mathematisches verständnis um diese aufgabe zu lösen.
dass ich im ersten posting geschrieben habe ich hätte für k=2 bzw. k=3 die wsk berechnen können wahr falsch, ich kann es nicht.
du hast jedoch meine frage genau richtig verstanden, genau das von dir beschriebene wollte ich berechnen.
jedoch empfinde ich nun dein resultat intuitiv als falsch und mit meinem beispiel im letzten posting wollte ich erläutern weshalb. zudem erhalte ich, wie schon erwähnt, ein anderes resultat (k=88) wenn ich deine formel nachrechne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 08.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo nepal,
> dass ich im ersten posting geschrieben habe ich hätte für
> k=2 bzw. k=3 die wsk berechnen können wahr falsch, ich kann
> es nicht.
Macht nichts.
> du hast jedoch meine frage genau richtig verstanden, genau
> das von dir beschriebene wollte ich berechnen.
Da bin ich ja froh, dass wenigstens das geklaert ist 
> jedoch empfinde ich nun dein resultat intuitiv als falsch
> und mit meinem beispiel im letzten posting wollte ich
> erläutern weshalb.
> zudem erhalte ich, wie schon erwähnt,
> ein anderes resultat (k=88) wenn ich deine formel
> nachrechne.
Meine Eingabe in Mathematica fuer $ [mm] P(A_k)={\binom{N}{k}k!S_{M,k}}/{N^M} [/mm] $
lautete:
| 1: |
| | 2: | k = {88, 89, 90, 91, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}
| | 3: | N[StirlingS2[365, k]Binomial[100, k]*(k!)/(100^365)]
|
Und da sehe ich auch schon, wo *mein* Fehler liegt! Habe $M$ und $N$ vertauscht! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Die Eingabe
| 1: |
| | 2: | k = {70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
| | 3: | 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95,
| | 4: | 96, 97, 98, 99, 100}
| | 5: | N[StirlingS2[100, k]Binomial[365, k]*(k!)/(365^100)]
|
mit den Ergebnissen
[mm] $4.3824\, {10}^{-8},2.0532\,{10}^{-7}, 8.89171\,{10}^{-7}$, [/mm]
[mm] 3.5578\,{10}^{-6},0.0000131456, [/mm] 0.0000448216,0.000140914,
0.000408102,0.00108755, 0.00266342,0.00598546,0.0123221,
0.0231929,0.039823,0.0622169, 0.0881839,0.113003,0.130401,
0.134879,0.124363,0.101552, 0.0728641,0.0454967,0.0244267,
0.0111045,0.00418882,0.00127517, 0.000300852,0.0000515905,
[mm] $5.7176\,{10}^{-6}, 3.07249\,{10}^{-7}$
[/mm]
Damit kann ich *deine* Rechnung bestaetigen, das Maximum liegt bei
$k=88$, und es ist [mm] $P(A_{88})=0.134879$.
[/mm]
Auch die Simulation muss ich revidieren:
| 1: |
| | 2: | > jjf <- function(x)length(unique(sample(x,100,repl=T)))
| | 3: | > a <- sapply(rep(365,100000),jjf)
| | 4: | > plot(table(a))
| | 5: | > table(a)/100000
| | 6: | 72 75 76 77 78 79 80 81 82 83
| | 7: | 0.00001 0.00009 0.00023 0.00044 0.00102 0.00295 0.00610 0.01258 0.02269 0.03940
| | 8: | 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93
| | 9: | 0.06113 0.08739 0.11447 0.13089 0.13502 0.12401 0.10207 0.07290 0.04432 0.02520
| | 10: | 94 95 96 97 98
| | 11: | 0.01090 0.00441 0.00144 0.00031 0.00003
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Tut mir Leid, soviel Verwirrung gestiftet zu haben ...
vg Luis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Di 08.04.2008 | | Autor: | bazzzty |
> gesucht: anzahl tage in einem jahr (365 tage), für die die
> wsk am grössten ist, dass 100 person genau an sovielen
> verschiedenen tagen geburtstag haben? (jeder tag hat dabei
> die gleiche wsk)
>
> bsp:
> - wsk dass alle an einem einzigen tag geburtstag haben:
> [mm]\bruch{1}{365}^{99}[/mm]
Richtig.
> - wsk dass alle an verschiedenen (also 100) tagen
> geburtstag haben: [mm]\bruch{364!}{265!*365}[/mm]
Hmm. Das kann schon nicht ganz sein, oder? Das ist ja keine Wahrscheinlichkeit, das ist weiiiiiiiiit über 1, wenn ich mich nicht irre.
> für welche anzahl tage ist nun die wsk am grössten?
>
> für 2 und 3 tage habe ich die wsk noch berechnen können,
> doch ab dann gibt es immer mehr möglichkeiten...besten dank
Mag sein, daß ich was übersehe, aber die Wahrscheinlichkeit, daß 100 Menschen an genau [mm]k[/mm] verschiedenen Tagen Geburtstag haben ist doch die Wahrscheinlichkeit, daß 100 Menschen an [mm]k[/mm] fest gewählten Tagen Geburtstag haben mal der Anzahl solcher Teilmengen des Jahres, also
[mm]P(k)=\vektor{365 \\ k}\cdot \vektor{\bruch{k}{365}}^k[/mm]
oder nicht? Ausprobieren kann ich's grad leider nicht..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Di 08.04.2008 | | Autor: | nepal |
du hast recht, ich wollte [mm]\bruch{364!}{265!*365^{99}}[/mm] schreiben und habe ^99 vergessen.
in deiner formel kommt die 100 aber gar nicht vor, was ja wohl nicht sein kann, nehme anstelle von ^k sollte es ^100 heissen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Di 08.04.2008 | | Autor: | bazzzty |
> in deiner formel kommt die 100 aber gar nicht vor, was ja
> wohl nicht sein kann, nehme anstelle von ^k sollte es ^100
> heissen.
Ja, soll es ;)
|
|
|
|
