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Forum "Schul-Analysis" - gebrochen rationale Funktionen

gebrochen rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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gebrochen rationale Funktionen: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:09 Di 10.05.2005
Autor:	Andi235

Hallo!

Ich hab folgende Aufgabe: f(x)= [mm] \bruch{x³-2x²-5+6}{x²-3x+2} [/mm]

Den Definitionsberich habe ich bereits bestimmt
x1=2
x2=1

Dabei handelt es sich einmal bei x1=2 um eine Polstelle
und bei x2=1 um eine behebbare Definitionslücke

Ich hab leider keine Ahnung wie ich die Ergänzungsfunktion bestimme.
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

gebrochen rationale Funktionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:36 Di 10.05.2005
Autor:	Zwerglein

Hi, Andi,

> Ich hab folgende Aufgabe: f(x)=
> [mm]\bruch{x³-2x²-5+6}{x²-3x+2}[/mm]
>
> Den Definitionsberich habe ich bereits bestimmt
>  x1=2
>  x2=1

Damit hast Du nicht den Definitionsbereich, sondern IM GEGENTEIL die Definitionslücken bestimmt!
Der Definitionsbereich ist: D = [mm] \IR\backslash\{1; 2\} [/mm]

>
> Dabei handelt es sich einmal bei x1=2 um eine Polstelle
>  und bei x2=1 um eine behebbare Definitionslücke

Das ist zwar richtig, aber:
Wie hast Du das rausgekriegt? Mit Grenzwertrechnung?
Oder durch "Einsetzen" der Nenner-Nullstellen in den Zähler?
>
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich die Ersatzfunktion
> bestimme.

Mit Hilfe von Termumformungen! Du weißt ja schon zweierlei:
(1) Der Nenner lässt sich zerlegen in: (x-1)(x-2)
(2) Der Zähler lässt sich OHNE REST durch (x-1) dividieren (Polynomdivision); daher:
[mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] - 5x + 6) [mm] =(x-1)*(x^{2} [/mm] - x - 6)
(Das x bei der 5 hab' ich mal ergänzt; hast Du wohl vergessen).

Nun kannst Du den Funktionsterm durch (x-1) kürzen:

f(x) = [mm] \bruch{x^{2} - x - 6}{x - 2} [/mm]

(Die Definitionsmenge bleibt aber dabei erhalten!)

Bezug

gebrochen rationale Funktionen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	22:48 Di 10.05.2005
Autor:	Andi235

Danke Zwerglein!
Du hast mir echt sehr geholfen.

Ich versuche jetzt erstmal die komplette Aufgabe zu lösen

Bezug

gebrochen rationale Funktionen: Lösung + neue Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:52 Mi 11.05.2005
Autor:	Andi235

Hallo! Ich hab jetzt mal die alte Aufgabe und eine weitere Aufgabe in Ansätzen gelöst.
Wäre nett, wenn ihr die beiden mal kontrollieren und mir bei der 2. Aufgabe weiter helfen könntet.
Danke!

Aufgabe 1:

f(x)= [mm] \bruch{x³-2x²-5x+6}{x²-3x+2} [/mm]

1 Definitionsbereich bestimmen
x²-3x+2=0
x1=2
x2=1

[mm] \Rightarrow [/mm] Definitionsbereich= [mm] \IR \backslash \{2;1\} [/mm]

2 Art der Definitionslücke
Z(2)=2³-2*2²-5*2+6=-4 [mm] \Rightarrow [/mm] Polstelle
Z(1)=1³-2*1²-5*1+6=0 [mm] \Rightarrow [/mm] behebbare Definitionslücke

Bestimmung von f*
(x²-3x+2)=(x-2)*(x-1)

Polynomdivision:
(x³-2x²-5x+6):(x-1)=x²-x-6

(x³-2x²-5x+6)=(x-1)*(x²-x-6)

f(x)= [mm] \bruch{(x-1)*(x²-x-6)}{(x-2)*(x-1)}= \bruch{x²-x-6}{x-2}=f\*(x) [/mm]

3 Achsenschnittpunkte
y-Achse:
f*(0)= [mm] \bruch{0²-0-6}{0-2}=3 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Sy(0/3)

x-Achse:
f*(x)= [mm] \bruch{x²-x-6}{x-2}=0 [/mm]
x1=3
x2=-2
[mm] \Rightarrow [/mm] N1(3/0)
[mm] \Rightarrow [/mm] N2(-2/0)

So ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.

Aufgabe 2:

f(x)= [mm] \bruch{2x²-4x-6}{3x²-3} [/mm]

1 Definitionsbereich bestimmen
3x²-3=0
x1=1
x2=-1

[mm] \Rightarrow [/mm] Definitionsbereich= [mm] \IR \backslash \{1;-1\} [/mm]

2 Art der Definitionslücke
Z(1)=2*1²-4*1-6=-8 [mm] \Rightarrow [/mm] Polstelle
Z(-1)=2*(-1)²-4*(-1)-6=0 [mm] \Rightarrow [/mm] behebbare Definitionslücke

Bestimmung von f*
Hier hab ich nun ein Problem
Normalerweise erhält man ja durch die beiden Werte
x1=1
x2=-1
(siehe "Definitionsbereich bestimmen") zwei Terme ((x-1)(x+1)) mit denen man den Nenner der Aufgabe zerlegen kann. Jedoch geht diese Rechnung nicht auf, da ich zuvor bei der Bestimmung der Nullstellen des Nenners die 3 weg dividiert habe.
Sorry, wenn ich im Moment vielleicht ein Brett vorm Kopf habe, aber in welche Terme zerlegt man nun den Nenner??

Bezug

gebrochen rationale Funktionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:21 Mi 11.05.2005
Autor:	Max

> Hallo! Ich hab jetzt mal die alte Aufgabe und eine weitere
> Aufgabe in Ansätzen gelöst.
>  Wäre nett, wenn ihr die beiden mal kontrollieren und mir
> bei der 2. Aufgabe weiter helfen könntet.
>  Danke!
>
> Aufgabe 1:
>
> f(x)= [mm]\bruch{x³-2x²-5x+6}{x²-3x+2}[/mm]
>
> 1 Definitionsbereich bestimmen
>  x²-3x+2=0
>  x1=2
>  x2=1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Definitionsbereich= [mm]\IR \backslash \{2;1\}[/mm]

>
> 2 Art der Definitionslücke
>  Z(2)=2³-2*2²-5*2+6=-4 [mm]\Rightarrow[/mm] Polstelle
>  Z(1)=1³-2*1²-5*1+6=0 [mm]\Rightarrow[/mm] behebbare
> Definitionslücke

>
> Bestimmung von f*
>  (x²-3x+2)=(x-2)*(x-1)
>
> Polynomdivision:
>  (x³-2x²-5x+6):(x-1)=x²-x-6
>
> (x³-2x²-5x+6)=(x-1)*(x²-x-6)
>
> f(x)= [mm]\bruch{(x-1)*(x²-x-6)}{(x-2)*(x-1)}= \bruch{x²-x-6}{x-2}=f\*(x)[/mm]

Die stetige Fortsetzung [mm] $f^{\*}$ [/mm] hat  natürlich einen anderen Definitionsbereich als $f$, von daher  ist  [mm] $f(x)=f^{\*}(x)$ [/mm] so nicht richtig, sondern gilt nur für [mm] $x\in D_f$. [/mm]

>
> 3 Achsenschnittpunkte
>  y-Achse:
>  f*(0)= [mm]\bruch{0²-0-6}{0-2}=3[/mm]
>   [mm]\Rightarrow[/mm] Sy(0/3)
>
> x-Achse:
>  f*(x)= [mm]\bruch{x²-x-6}{x-2}=0[/mm]
>  x1=3
>  x2=-2
>   [mm]\Rightarrow[/mm] N1(3/0)
>   [mm]\Rightarrow[/mm] N2(-2/0)

>
> So ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.

Soweit ist das richtig - musst du nicht auf Extrempunkte und Wendepunkte überprüfen?

> Aufgabe 2:
>
> f(x)= [mm]\bruch{2x²-4x-6}{3x²-3}[/mm]
>
> 1 Definitionsbereich bestimmen
>  3x²-3=0
>  x1=1
>  x2=-1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Definitionsbereich= [mm]\IR \backslash \{1;-1\}[/mm]

>
> 2 Art der Definitionslücke
>  Z(1)=2*1²-4*1-6=-8 [mm]\Rightarrow[/mm] Polstelle
>  Z(-1)=2*(-1)²-4*(-1)-6=0 [mm]\Rightarrow[/mm] behebbare
> Definitionslücke

>
> Bestimmung von f*
>  Hier hab ich nun ein Problem
>  Normalerweise erhält man ja durch die beiden Werte
>  x1=1
>  x2=-1
>  (siehe "Definitionsbereich bestimmen") zwei Terme
> ((x-1)(x+1)) mit denen man den Nenner der Aufgabe zerlegen
> kann. Jedoch geht diese Rechnung nicht auf, da ich zuvor
> bei der Bestimmung der Nullstellen des Nenners die 3 weg
> dividiert habe.
>  Sorry, wenn ich im Moment vielleicht ein Brett vorm Kopf
> habe, aber in welche Terme zerlegt man nun den Nenner??

Muss wohl so sein ;-)

[mm] $3x^2-3=3 \cdot [/mm] (x-1) [mm] \cdot [/mm] (x+1)$, den Zähler kannst du in [mm] $2x^2-4x-6=2 \cdot [/mm] (x-3)(x+1)$ faktorisieren. Damit kannst du sehr schnell die stetige Fortsetzung [mm] $f^{\*}$ [/mm] in [mm] $\IR\setminus\{1\}$ [/mm] bestimmen.

Gruß Max

Bezug

gebrochen rationale Funktionen: Danke

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	21:02 Mi 11.05.2005
Autor:	Andi235

Danke für die Hilfe!
Ich wusste doch, dass es nicht so kompliziert ist ;-)

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