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| Aufgabe | Eine 5m lange Blechrinne besteht aus einem Grundblech der Breite a und zwei um 60° dagegen geneigte Seitenblechen der Breite b. Der Rinnenquerschnitt soll 400cm² betragen.
Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Materialbedarf minimal ist (Umfang minimal)? |
Hallo ihr da draußen!
Also ich hab versucht das ganze zu rechnen, komme aber auf kein Ergebnis. Wäre euch also sehr dankbar, wenn ihr mal drüberschauen könntet und mir sagt, ob das so stimmt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
geg.: A = 400 h = b*sin(30°) c = b*cos(30°)
$A = (a+c)*h$
$400 = (a + b*cos(30°))*b*sin(30°)$
$a = [mm] \bruch{400}{b*sin(30°)} [/mm] - b*cos(30°)$
$U = a + 2b$
$U(b) = [mm] \bruch{400}{b*sin(30°)} [/mm] - b*cos(30°) + 2b$
$U'(b) = [mm] \bruch{400}{b² * sin(30°)} [/mm] - cos(30°) + 2$
Extrema:
$U'(b) = 0$
$0 = [mm] -\bruch{400}{b² * sin(30°)} [/mm] - cos(30°) + 2$
[mm] $\bruch{400}{b² * sin(30°)} [/mm] = - cos(30°) + 2$
$400 = (-cos(30°)+2)* b² * sin(30°) $
[mm] $\bruch{400}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)} [/mm] = b²$
[mm] $b_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{400}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)}}$
[/mm]
[mm] $b_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 20* [mm] \wurzel{\bruch{1}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)}}$
[/mm]
[mm] $b_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 20* [mm] \wurzel{-0,5483}$
[/mm]
So, jetzt komm ich nicht mehr weiter, da ich ja schließlich keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann.
Wo liegt mein Fehler?
Danke für eure Hilfe!
Gruß miniscout
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 08.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ich komm da nicht ganz mit...
was ist gefragt? der umfang? oder die obrfläche oder was?
vielleicht blicke ich da snicht richtig, aber dann bekommst du doch ein gleichschenkliges (oder, falls die geneigten Seitenbleche auch noch kontakt zu einander haben: ein gleichseitiges) dreieck.
nun denke ich an den umfang eines dreiecks, bzw. an den flächeninhalt. darüber kann man sicher die seitenlänge b bestimmen.
breite rinne * länge rinne + 2* (breite geneigte seite * länge rinne).
und das dann maximieren...
gruß
wolfgang
> Eine 5m lange Blechrinne besteht aus einem Grundblech der
> Breite a und zwei um 60° dagegen geneigte Seitenblechen der
> Breite b. Der Rinnenquerschnitt soll 400cm² betragen.
>
> Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Materialbedarf
> minimal ist (Umfang minimal)?
>
>
> Hallo ihr da draußen!
>
> Also ich hab versucht das ganze zu rechnen, komme aber auf
> kein Ergebnis. Wäre euch also sehr dankbar, wenn ihr mal
> drüberschauen könntet und mir sagt, ob das so stimmt.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> geg.: A = 400 h = b*sin(30°) c = b*cos(30°)
>
> [mm]A = (a+c)*h[/mm]
>
> [mm]400 = (a + b*cos(30°))*b*sin(30°)[/mm]
>
> [mm]a = \bruch{400}{b*sin(30°)} - b*cos(30°)[/mm]
>
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> [mm]U = a + 2b[/mm]
>
> [mm]U(b) = \bruch{400}{b*sin(30°)} - b*cos(30°) + 2b[/mm]
>
> [mm]U'(b) = \bruch{400}{b² * sin(30°)} - cos(30°) + 2[/mm]
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> Extrema:
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> [mm]U'(b) = 0[/mm]
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> [mm]0 = -\bruch{400}{b² * sin(30°)} - cos(30°) + 2[/mm]
>
> [mm]\bruch{400}{b² * sin(30°)} = - cos(30°) + 2[/mm]
>
> [mm]400 = (-cos(30°)+2)* b² * sin(30°)[/mm]
>
> [mm]\bruch{400}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)} = b²[/mm]
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> [mm]b_{1,2} = \pm \wurzel{\bruch{400}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)}}[/mm]
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> [mm]b_{1,2} = \pm 20* \wurzel{\bruch{1}{(-cos(30°)+2)*sin(30°)}}[/mm]
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> [mm]b_{1,2} = \pm 20* \wurzel{-0,5483}[/mm]
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> So, jetzt komm ich nicht mehr weiter, da ich ja schließlich
> keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann.
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Gruß miniscout
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Hallo miniscout,
du hast deine Ableitung U' falsch aufgeschrieben, aber das ist nur ein Schreibfehler, du rechnest später richtig weiter.
Also bei mir ist (-cos(30˚)+2) positiv und sin(30˚) auch. Ich kann deine negative Zahl unter der Wurzel nicht nachvollziehen.
Hugo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 09.03.2007 | | Autor: | miniscout |
Hallo und Danke für die Hilfe.
Hab meinen Fehler gefunden - man sollte halt mim Taschenrechner umgehen können - ich habe Deg statt Rad eingestelt gehabt.
Gruß miniscout
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