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gebr. rationale Funktion: Ableitung, Nullstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Fr 11.02.2005
Autor: Eirene

Hallo !!!
Kann mir bitte jemand sagen ob die Ableitungen richtig sind

f(x) = [mm] \bruch{ x^{3}- 3x^{2}+4}{x} [/mm]
1.Ableitung :
f(x) =2x-3+4 [mm] x^{-2} [/mm]
2.Ableitung:
f(x) = 2- 8 [mm] x^{-3} [/mm]

Nullstellen: 1, 0, 4,8284, -0,828
Sind die richtig???

Nächste Aufgabe:

Zeige, dass die Gerade g mit y =4,75x-14 den Graphen von f berührt und berechne den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von f, der Geraden g und der 1. achse im 1. Quadranten begrenzt wird.

um das zu zeigen muss man doch  [mm] \bruch{ x^{3}- 3x^{2}+4}{x} [/mm]  = 4,75x - 14  dann hab ich das ganze mal x genommen und dann alles auf eine Seite gebracht, dann kommt raus [mm] x^{3} [/mm] - 7,75 [mm] x^{2} [/mm] +14 x +4 =0  aber ist das richtig? Dann hab ich durch probieren rausgekriegt, dass x = 4 ist und wollte dann die Polynomdivision machen und das klappt irgendwie nicht...

Danke für jede Hilfe
        
Bezug
gebr. rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Fr 11.02.2005
Autor: cologne

hallo eirene!

>  Kann mir bitte jemand sagen ob die Ableitungen richtig
> sind
>  
> f(x) = [mm]\bruch{ x^{3}- 3x^{2}+4}{x} [/mm]
>  1.Ableitung :
>  f(x) =2x-3+4 [mm]x^{-2} [/mm]

stimmt fast, auf die vorzeichen achten: [mm]f'(x)=2x-3- \bruch{4}{x^{2}}[/mm]  
>  2.Ableitung:
>  f(x) = 2- 8 [mm]x^{-3} [/mm]

hier genauso:  [mm]f''(x)=2+ \bruch{8}{x^{3}}[/mm] , auf die vorzeichen achten.
> Nullstellen: 1, 0, 4,8284, -0,828
>   Sind die richtig???

das kannst du doch selbst überprüfen, einfach x in f(x) einsetzen und das ergebnis muss null sein. mit der '1' würde das schonmal nicht klappen ( [mm] \bruch{1-3+4}{1} \not=0 [/mm] ) und für '0' ist die funktion nicht definiert. deshalb kann '0' also auch keine nullstelle sein. die anderen beiden nullstellen sind auch falsch. wie bist du auf diese zahlen gekommen?
  
> Nächste Aufgabe:
>  
> Zeige, dass die Gerade g mit y =4,75x-14 den Graphen von f
> berührt und berechne den Inhalt der Fläche, die von dem
> Graphen von f, der Geraden g und der 1. achse im 1.
> Quadranten begrenzt wird.
>  
> um das zu zeigen muss man doch  [mm]\bruch{ x^{3}- 3x^{2}+4}{x}[/mm]
>  = 4,75x - 14  

[ok]
>dann hab ich das ganze mal x genommen und
> dann alles auf eine Seite gebracht, dann kommt raus [mm]x^{3}[/mm] -
> 7,75 [mm]x^{2}[/mm] +14 x +4 =0  aber ist das richtig?

[ok]
> Dann hab ich
> durch probieren rausgekriegt, dass x = 4 ist und wollte
> dann die Polynomdivision machen und das klappt irgendwie
> nicht...

x=4 ist doch schonmal ganz gut, dann ist der ansatz für die polynomdivision:
[mm] (x^{3}-7,75 x^{2}+14x+4):(x-4)[/mm]
was klappt denn bei der polynomdivision nicht? hast du immer die vorzeichen beachtet und die potenzen von x? bei mir klappt es ... :-)
gruß gerd
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gebr. rationale Funktion: Fehler???
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:40 Fr 11.02.2005
Autor: Nimue

Hi
>  wenn du [mm]f'(x)=2x-3+ \bruch{4}{x^{2}}[/mm]  meinst, dann  [ok]


Hab noch nicht weiter als bis dahin gelesen, aber fehlt da nicht ein Minus?
[mm]f'(x)=2x-3-\bruch{4}{x^{2}}[/mm]

Gruß Nimue
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Bezug
gebr. rationale Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Fr 11.02.2005
Autor: cologne

hi nimue,
du hast recht, auf meinem script hatte ich auch richtig abgeleitet, aber dann beim abschreiben wohl etwas geschusselt ...  vielen dank für den hinweis.
gruß gerd
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gebr. rationale Funktion: weitere Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Fr 11.02.2005
Autor: Zwerglein

Hallo, eirene,

(1) Bei der 1. Ableitung hast Du einen Vorzeichenfehler gemacht:
f'(x)=2x-3 - [mm] 4*x^{-2}. [/mm]
Der wirkt sich natürlich dann auch auf die 2. Ableitung aus.

(2) Bei den Nullstellen (nur Nullstellen des Zählers können Nullstellen der Funktion sein! Nenner-Nullstellen NIEMALS!!) gilt:
Zählergrad=3 => maximal 3 NS.
Raten ergibt: x=-1 ist NS. Anschließend Polynomdivision und Suche weiterer NS.

(3) Dein Ansatz und die  erratene Lösung (x=4) sind richtig!
(Alternative wäre gewesen, die Ableitung f'(x) mit der Geradensteigung 4,75 gleichzusetzen. Hab's probiert: Geht auch nicht schneller!)

mfG!
Zwerglein



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gebr. rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Fr 11.02.2005
Autor: Eirene

erst einmal möchte ich euch allen danken !!!!

dann:
damit ich es richtig verstehe
1. Ableitung ist f (x) =2x-3 +  [mm] \bruch{4}{x^{2}} [/mm] aber das ist doch dasselbe wie  f(x) =2x-3 + [mm] {4x^{-2}} [/mm]
???
Die Nullstellen hab ich jetzt auch ausgerechnet: es sind zwei:  2 und -1

Das mit der Polynomdivision klappt immer noch nicht:

also nachdem ich die beiden gleichungen gleichgesetzt hab kam raus [mm] x^{3} [/mm] - 7,75 [mm] x^{2} [/mm]  +14 x +4 =0 dass dann durch ( x-4 ) die polynomdivision klappt aber nicht da ich nicht o am Ende rauskrieg sondern -112

Bezug
                
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gebr. rationale Funktion: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Fr 11.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Eirene!


>  damit ich es richtig verstehe
>  1. Ableitung ist f (x) =2x-3 +  [mm]\bruch{4}{x^{2}}[/mm] aber das
> ist doch dasselbe wie  f(x) =2x-3 + [mm]{4x^{-2}}[/mm] ???

Du hast recht, daß gilt [mm] $x^{-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2}$ [/mm]

Aber bei der Berechnung der 1. Ableitung ist immer noch ein Vorzeichenfehler drin (siehe auch Antwort oben):

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^3 - 3x^2 + 4}{x} [/mm] \ = \ [mm] x^2 [/mm] - 3x + [mm] 4x^{-1}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$f'(x) \ = \ 2x - 3 + [mm] \red{(-1) * } 4x^{-2} [/mm] \ = \ 2x - 3 \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] 4x^{-2} [/mm] \ = \ 2x - 3 \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{4}{x^2}$ [/mm]

Klar nun??




> Die Nullstellen hab ich jetzt auch ausgerechnet:
> es sind zwei:  2 und -1

[daumenhoch]



> Das mit der Polynomdivision klappt immer noch nicht:
> also nachdem ich die beiden gleichungen gleichgesetzt hab
> kam raus [mm]x^3 - 7,75 x^2 + 14x + 4 = 0[/mm] dass dann durch (x-4 )
> die polynomdivision klappt aber nicht da ich nicht o
> am Ende rauskrieg sondern -112

Hhhm [kopfkratz2] ...
Da muß noch ein Fehler drin stecken, da in meiner Rechnung die Polynomdivision wunderbar aufgeht.

Ich gebe Dir mal das Resultat als Kontrollergebnis
(bitte nachrechnen):

[mm] $x^3 [/mm] - [mm] 7,75x^2 [/mm] +14x + 4 \ = \ [mm] (x-4)*(x^2 [/mm] - 3,75x - 1)$


Gruß
Loddar

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gebr. rationale Funktion: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Fr 11.02.2005
Autor: dominik


> Das mit der Polynomdivision klappt immer noch nicht:

[mm](x^3-7.75x^2+14x+4):(x-4)=x^2-3.75x-1[/mm]
[mm]x^3-4x^2[/mm]
[mm]-3.75x^2+14x+4[/mm]
[mm]-3.75x^2+15x[/mm]
[mm]-x+4[/mm]
[mm]-x+4[/mm]
[mm]0[/mm] Rest

Ich bringe die entsprechenden Terme nicht untereinander, aber vielleicht siehst du es trotzdem!

Viele Grüsse
dominik
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