galoissche Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 03.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
| Aufgabe | Sei K [mm] \subset [/mm] L eine Körpererweiterung vom Grad 2.
Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung galoissch ist, falls die Charakteristik der Körper von 2 verschieden ist |
Hallo ihr!
Ich würde diese Aussage gerne beweisen, weiß aber nicht wie.
Warum muss die Charakteristik denn ungleich 2 sein? (Hoffentlich ist das keine allzu blöde Frage...).
Für einen Ansatz wär ich sehr dankbar :)
F.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Di 03.06.2008 | | Autor: | statler |
Hallo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei K [mm]\subset[/mm] L eine Körpererweiterung vom Grad 2.
> Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung galoissch ist,
> falls die Charakteristik der Körper von 2 verschieden ist
> Ich würde diese Aussage gerne beweisen, weiß aber nicht
> wie.
> Warum muss die Charakteristik denn ungleich 2 sein?
Das steht so gar nicht da! Wenn sie [mm] \not= [/mm] 2 ist, dann ...
> (Hoffentlich ist das keine allzu blöde Frage...).
>
> Für einen Ansatz wär ich sehr dankbar :)
Der Ansatz hängt davon ab, wie du galoissch definiert hast oder welche Sätze du schon kennst. Es gilt z. B. galoissch [mm] \gdw [/mm] endlich, normal und separabel. 'endlich' ist hier Voraussetzung, 'separabel' folgt aus der vorausgesetzten Char., bleibt noch 'normal'. Das kannst du nachrechnen (p-q-Formel).
Jetzt hast du hoffentlich einen Ansatz.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 03.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Hallo Dieter!
Vielen dank für deine schnelle Hilfe - war echt klasse!
Ich hatte total vergessen, dass die Charakteristik eines Körpers nur 0 oder eine Primzahl sein kann. Dass es für char(K)=0 oder p folgt ist klar. (Separabel folgt aber auch für char(K)=2, oder?)
Normal:
Es ist [L:K]=2 => [mm] f=x^2+ax+b [/mm] irreduzibel über K ist Minimalpolynom von K über Nullstellen [mm] a_1,a_2.
[/mm]
[mm] a_1/a_2 [/mm] = [mm] \bruch{a\pm \wurzel{a^2-4b}}{2}
[/mm]
=> [mm] L=K(a_1,a_2) [/mm] (wenn a=0, L= [mm] K(a_1))
[/mm]
=> L ist ZFK von f in K[X]
=> L/K normal
Stimmt das?
Wenn ich jetzt aber L=K(a,b) (mit [mm] a^2,b^2 \el [/mm] K) gegeben hätte, dann weiß ich ja noch nichts über den Grad der Körpererweiterung.
Muss ich dann die Fälle a=b, [mm] a\not=b,etc. [/mm] betrachten?
Oder geh ich das ganz falsch an?
Danke schonmal im voraus!
Fips
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 03.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich hatte total vergessen, dass die Charakteristik eines
> Körpers nur 0 oder eine Primzahl sein kann. Dass es für
> char(K)=0 oder p folgt ist klar. (Separabel folgt aber auch
> für char(K)=2, oder?)
Nein, fuer $char(K) = 2$ muss die Erweiterung gerade nicht separabel sein! Beispiel: Sei [mm] $\IF_2$ [/mm] der Koerper mit zwei Elementen und $K = [mm] \IF_2(x^2)$; [/mm] dann ist $L = [mm] \IF_2(x)$ [/mm] eine Erweiterung von $K$ vom Grad 2: es gilt $L = K(x)$, und das Element $x [mm] \in [/mm] L$ hat das Minimalpolynom [mm] $t^2 [/mm] - [mm] x^2 \in [/mm] K[t]$, und dieses ist irreduzibel da es keine Nulltsellen in $K$ hat (die einzige Nullstelle $x$ liegt in $L [mm] \setminus [/mm] K$).
Man kann uebrigens zeigen, dass alle nicht-separablen Erweiterungen in Charakteristik 2 vom Grad 2 von der Form $L = K(x)$ sind, wobei $x$ das Minimalpolynom [mm] $t^2 [/mm] - [mm] x^2 \in [/mm] K[t]$ hat (und $x [mm] \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$ ist beliebig, und das Minimalpolynom hat nur die Nullstelle $x$, ist also $(x - [mm] 2)^2$ [/mm] in $L[t]$).
> Normal:
> Es ist [L:K]=2 => [mm]f=x^2+ax+b[/mm] irreduzibel über K ist
> Minimalpolynom von K über Nullstellen [mm]a_1,a_2.[/mm]
> [mm]a_1/a_2[/mm] = [mm]\bruch{a\pm \wurzel{a^2-4b}}{2}[/mm]
Wieso sollte der Quotient [mm] $\frac{a_1}{a_2}$ [/mm] gleich dem Ausdruck sein? Du meinst wohl, dass [mm] $a_1$ [/mm] der Ausdruck mit $+$ und [mm] $a_2$ [/mm] der mit $-$ ist (oder umgekehrt).
> => [mm]L=K(a_1,a_2)[/mm]
Warum folgt das daraus? Hier musst du noch etwas genauer argumentieren. (Schreib doch [mm] $a_1 [/mm] = .... [mm] \text{Ausdruck in } a_2 [/mm] ...$.)
> (wenn a=0, L= [mm]K(a_1))[/mm]
Wieso sollte $a = 0$ sein?
> Wenn ich jetzt aber L=K(a,b) (mit [mm]a^2,b^2 \el[/mm] K) gegeben
> hätte, dann weiß ich ja noch nichts über den Grad der
> Körpererweiterung.
> Muss ich dann die Fälle a=b, [mm]a\not=b,etc.[/mm] betrachten?
> Oder geh ich das ganz falsch an?
Siehe oben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Also das mit der Charakteristik ist mir immer noch nicht klar...
In einem Skript hab ich gelesen, dass
char(K)=0 oder char(K)=p >0 und [mm] K^p [/mm] = K [mm] \gdw [/mm] Jede alg. Erweiterung von K ist speparabel (Definition eines perfekten Körpers).
Außerdem stand da, dass für endliche Körper K (char(K)=p>0) [mm] K=K^p [/mm] ist. Das müsste dann doch auch für 2 gelten...
Dein Beispiel für [mm] K=\IF_{2}(t^2) [/mm] ist mir auch soweit klar.
Wenn ich jetzt aber nicht gegeben habe, dass die Körpererweiterung Grad 2 haben muss, also zum Beispiel [mm] K=\IF_{3}(t) [/mm] betrachte (char(K)=3).
Dann ist [mm] [K:\IF_{3}(t^3)]=3, [/mm] denn [mm] x^3-t^3=m_{K,t} [/mm] und damit ist K [mm] \not= \IF_{3}(t^3), [/mm] also sind die alg. Erweiterungen von K nicht separabel.
Irgendwo hab ich da einen Knoten in meinen Gedanken, was die Charakteristik angeht....
zu meinem letzten Eintrag: [mm] a_1/a_2 [/mm] = [mm] a_{1,2} [/mm] (wusste nicht, dass ich mit {} zwei Zahlen in den Index schreiben kann)
Außerdem kann ich aus [L:K]=2 folgern, dass L/K normal (quadratische Erweiterungen sind immer normal)
Vielleicht kann sich noch jemand meinen Beweis der Normalität anschauen? Das wär klasse :)
Sei K Körper mit char(K9 [mm] \not= [/mm] 2 und L=K(a,b) mit [mm] a^2,b^2 \in [/mm] K.
zz. L/K normal
Beweis: Unterscheide 3 Fälle:
i) L=K (also [mm] a=a^2,b=b^2) \Rightarrow [/mm] normal
ii) L=K(a) (also a [mm] \not= a^2 [/mm] und [mm] (b=b^2 [/mm] oder b=a)
[mm] \Rightarrow f=x^2-a^2 [/mm] = [mm] m_{K,a} [/mm] (da [mm] f\not= [/mm] 0, f(a)=0, normiert und keine NS in K, dh. irreduzibel)
[mm] \Rightarrow [/mm] [L:K]=2
[mm] \Rightarrow [/mm] L/K normal
iii)L=K(a,b) (also [mm] a\not=a^2, b\not=b^2, a\not= [/mm] b)
Sei [mm] f\in [/mm] K[X].
[mm] f=(x^2-a^2)(x^2-b^2) [/mm] =(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)
Da L Körper und somit abgeschlossen: [mm] a,b\in [/mm] L => [mm] -a,-b\in [/mm] L
[mm] \Rightarrow [/mm] L ist ZFK von [mm] f\in [/mm] K[X]
[mm] \Rightarrow [/mm] L/K normal
Also: Vielen Dank für eure Mühe!
F.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 04.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also das mit der Charakteristik ist mir immer noch nicht
> klar...
> In einem Skript hab ich gelesen, dass
>
> char(K)=0 oder char(K)=p >0 und [mm]K^p[/mm] = K [mm]\gdw[/mm] Jede alg.
> Erweiterung von K ist speparabel (Definition eines
> perfekten Körpers).
Genau.
> Außerdem stand da, dass für endliche Körper K (char(K)=p>0)
> [mm]K=K^p[/mm] ist. Das müsste dann doch auch für 2 gelten...
Ja, fuer $p = 2$ gilt das auch.
> Dein Beispiel für [mm]K=\IF_{2}(t^2)[/mm] ist mir auch soweit klar.
Ok. Beachte uebrigens dass $K$ kein endlicher Koerper ist und dass $K$ auch keine algebraische Erweiterung von [mm] $\IF_2$ [/mm] ist (sondern eine echt transzendente).
> Wenn ich jetzt aber nicht gegeben habe, dass die
> Körpererweiterung Grad 2 haben muss, also zum Beispiel
> [mm]K=\IF_{3}(t)[/mm] betrachte (char(K)=3).
> Dann ist [mm][K:\IF_{3}(t^3)]=3,[/mm] denn [mm]x^3-t^3=m_{K,t}[/mm] und
Was ist $K$ hier? Ich versteh nicht was du hier meinst.
> damit ist K [mm]\not= \IF_{3}(t^3),[/mm] also sind die alg.
> Erweiterungen von K nicht separabel.
>
> Irgendwo hab ich da einen Knoten in meinen Gedanken, was
> die Charakteristik angeht....
>
> zu meinem letzten Eintrag: [mm]a_1/a_2[/mm] = [mm]a_{1,2}[/mm] (wusste nicht,
> dass ich mit {} zwei Zahlen in den Index schreiben kann)
Ok.
> Außerdem kann ich aus [L:K]=2 folgern, dass L/K normal
> (quadratische Erweiterungen sind immer normal)
Genau.
> Vielleicht kann sich noch jemand meinen Beweis der
> Normalität anschauen? Das wär klasse :)
>
> Sei K Körper mit char(K9 [mm]\not=[/mm] 2 und L=K(a,b) mit [mm]a^2,b^2 \in[/mm]
> K.
> zz. L/K normal
>
> Beweis: Unterscheide 3 Fälle:
> i) L=K (also [mm]a=a^2,b=b^2) \Rightarrow[/mm] normal
> ii) L=K(a) (also a [mm]\not= a^2[/mm] und [mm](b=b^2[/mm] oder b=a)
> [mm]\Rightarrow f=x^2-a^2[/mm] = [mm]m_{K,a}[/mm] (da [mm]f\not=[/mm] 0, f(a)=0,
> normiert und keine NS in K, dh. irreduzibel)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [L:K]=2
> [mm]\Rightarrow[/mm] L/K normal
>
> iii)L=K(a,b) (also [mm]a\not=a^2, b\not=b^2, a\not=[/mm] b)
> Sei [mm]f\in[/mm] K[X].
> [mm]f=(x^2-a^2)(x^2-b^2)[/mm] =(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)
>
> Da L Körper und somit abgeschlossen: [mm]a,b\in[/mm] L => [mm]-a,-b\in[/mm]
> L
> [mm]\Rightarrow[/mm] L ist ZFK von [mm]f\in[/mm] K[X]
> [mm]\Rightarrow[/mm] L/K normal
Ich denke du meinst das richtige, allerdings hast du es sehr wirr aufgeschrieben bzw. teilweise koennte es sogar falsch sein. (Warum sollte $L = K(a)$ sein mit [mm] $a^2 \in [/mm] K$? In Charakteristik 2 ist dies genau dann der Fall, wenn entweder bereits $K = L$ ist oder $L/K$ nicht separabel ist!)
Argumentiere doch so:
Es ist $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] fuer ein [mm] $\alpha \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$ (jedes solche tut es schon!). Sei $f = [mm] x^2 [/mm] + a x + b [mm] \in [/mm] K[x]$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $L$. Sei $L'$ ein Zerfaellungskoerper von $f$ ueber $L$; dann ist $f = (x - [mm] \alpha) [/mm] (x - [mm] \beta)$ [/mm] fuer ein [mm] $\beta \in [/mm] L'$. Du musst jetzt zeigen, dass bereits [mm] $\beta \in [/mm] L$ ist.
Schreib doch mal $(x - [mm] \alpha) [/mm] (x - [mm] \beta)$ [/mm] aus und mach einen Koeffizientenvergleich mit [mm] $x^2 [/mm] + a x +b [mm] \in [/mm] K[x]$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Oh, ist das alles konfus :(
(Sorry, normalerweise stell ich mich nicht so blöd an. Steh heute total auf dem Schlauch..)
Ich versuch mal meine Überlegungen irgendwie zu strukturieren..
Also:
1) Wenn K endlich ist und char(K)=2, dann ist jede algebraische Erweiterung L/K separabel. Ja?
2) Wenn K unendlich ist und char(K)=p > 0. Dann sei [mm] K=\IF_p(t) [/mm] und [mm] L=\IF_p(t^p). [/mm] Und [K:L]=p (und K/L ist doch algebraisch, oder??) . Also nicht vollkommen [mm] \Rightarrow [/mm] Jede algebraische Erweiterung von K ist inseparabel.
Ich sehe nicht, warum dann gerade char(K)=2 ausgeschlossen wird.
Für K endlich, ist es okay, wenn char(K)=2 und wenn K unendlich, folgt aus char(K)=p => alg. Erweiterungen inseparabel...
3) Wenn ich wieder das Beispiel betrachte von vorhin:
K Körper, char(K) [mm] \not= [/mm] 2, L=K(a,b) mit [mm] a^2,b^2 \in [/mm] K
Es ist L/K algebraisch.
zz. L/K separabel
i) K endlich: Klar, weil dann char(K)=0 oder p und [mm] K^p=K \gdw [/mm] Jede alg. Erweiterung von K separabel.
ii) K unendlich. Dann könnte doch der Fall wie oben in 2) auftreten, dass [mm] K=\F_p(t) [/mm] und dann wäre L/K nicht separabel.
4) Frage zu deinem Kommentar zur Normalität:
>Warum sollte L = K(a) sein mit [mm] a^2 \in [/mm] K?
Ich weiß, dass L=K(a,b) mit [mm] a^2,b^2 \in [/mm] K (nach Vor.). Wenn a=b oder [mm] b=b^2, [/mm] dann ist L=K(a), oder nicht?
Vielen Dank für deine Mühe! :)
F.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 04.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Oh, ist das alles konfus :(
Das muß es nicht sein!
> (Sorry, normalerweise stell ich mich nicht so blöd an. Steh
> heute total auf dem Schlauch..)
>
> Ich versuch mal meine Überlegungen irgendwie zu
> strukturieren..
Ein sehr guter Vorsatz, dem man immer folgen sollte.
> Also:
>
> 1) Wenn K endlich ist und char(K)=2, dann ist jede
> algebraische Erweiterung L/K separabel. Ja?
Ja, aber die Voraussetzung char(K) = 2 ist überflüssig. (Die endlichen Körper hat man ohnehin voll im Griff.)
> 2) Wenn K unendlich ist und char(K)=p > 0. Dann sei
> [mm]K=\IF_p(t)[/mm] und [mm]L=\IF_p(t^p).[/mm] Und [K:L]=p (und K/L ist doch
> algebraisch, oder??) . Also nicht vollkommen [mm]\Rightarrow[/mm]
> Jede algebraische Erweiterung von K ist inseparabel.
Das ist logisch falsch gedreht. Es gibt in diesem Fall separable und inseparable Erweiterungen.
> Ich sehe nicht, warum dann gerade char(K)=2 ausgeschlossen
> wird.
Wird es doch gar nicht! Oder meinst du jetzt die Aufgabe?
> Für K endlich, ist es okay, wenn char(K)=2 und wenn K
> unendlich, folgt aus char(K)=p => alg. Erweiterungen
> inseparabel...
Vorsicht! Eine korrekte Aussage wäre: K unendlich und char(K) = p [mm] \Rightarrow [/mm] es könnte inseparable Erweiterungen geben, sie können nicht ausgeschlossen werden (das hängt von K ab)
> 3) Wenn ich wieder das Beispiel betrachte von vorhin:
> K Körper, char(K) [mm]\not=[/mm] 2, L=K(a,b) mit [mm]a^2,b^2 \in[/mm] K
> Es ist L/K algebraisch.
Warum hantierst du hier immer mit 2 Erzeugenden? Kennst du den Gradsatz? Kann es einen Körper zwischen L und K geben?
> zz. L/K separabel
>
> i) K endlich: Klar, weil dann char(K)=0 oder p und [mm]K^p=K \gdw[/mm]
> Jede alg. Erweiterung von K separabel.
>
> ii) K unendlich. Dann könnte doch der Fall wie oben in 2)
> auftreten, dass [mm]K=\F_p(t)[/mm] und dann wäre L/K nicht
> separabel.
>
> 4) Frage zu deinem Kommentar zur Normalität:
> >Warum sollte L = K(a) sein mit [mm]a^2 \in[/mm] K?
>
> Ich weiß, dass L=K(a,b) mit [mm]a^2,b^2 \in[/mm] K (nach Vor.). Wenn
> a=b oder [mm]b=b^2,[/mm] dann ist L=K(a), oder nicht?
Vielleicht habe ich dich mit dem Verweis auf die p-q-Formel verwirrt. Besser wäre der Satz von Vieta gewesen. Er berechnet die andere Nullstelle aus der einen.
Hoffentlich habe ich nix vergessen.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
| Aufgabe | Sei K Körper mit char(K) [mm] \not= [/mm] 2 und L=K(a,b) mit [mm] a^2,b^2 \in [/mm] K.
zz. L/K galoissch |
Danke - jetzt fühl ich mich schon etwas besser 
zu 1): Danke für die Bestätigung - dann ist mir das jetzt total klar!
zu 2): Ah, okay. Damit ist mir diese Aussage auch soweit klar.
> Warum hantierst du hier immer mit 2 Erzeugenden
Oh, jetzt hab ich wahrscheinlich für Verwirrung gesorgt. Sorry!
Ich betrachte da eine andere Aufgabe (s.oben), eben ohne die Vorraussetzung [L:K]=2...
Aus diesem Grund habe ich auch die drei Fälle unterschieden, um die Normalität zu zeigen.
Hoffe, das macht jetzt mehr Sinn
Die Separabilität bei dieser Aufabe für K unendlich ist mir aber immer noch ein Rätsel...
Nochmal zur ersten Aufgabe (Normalität über Vieta):
> Kennst du den Gradsatz? Kann es einen Körper zwischen L und K
> geben?
Es kann keinen Zwischenkörper geben, denn
[L:K] = [K(a):K][L:K(a)]=2 [mm] \Rightarrow [/mm] K=K(a) oder L=K(a).
[mm] f=x^2+ax+b [/mm] = [mm] m_{K,a_1}=m_{K,a_2}
[/mm]
zz.: [mm] L=K(a_1) [/mm] ist ZFK von f.
Nach Satz von Vieta:
[mm] a_1+a_2 [/mm] = a [mm] \Rightarrow a_2=a-a_1 \el [/mm] L
(da L Körper und abgeschlossen bzgl Addition,Multiplikation)
[mm] a_1*a_2=b \Rightarrow a_2 [/mm] = b*a^-1 [mm] \el [/mm] L
Damit ist L ZFK von f => L/K normal.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 04.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei K Körper mit char(K) [mm]\not=[/mm] 2 und L=K(a,b) mit [mm]a^2,b^2 \in[/mm]
> K.
> zz. L/K galoissch
> Die Separabilität bei dieser Aufabe für K unendlich ist
> mir aber immer noch ein Rätsel...
Ist dir bekannt, daß separabel eine Eigenschaft ist, die sich vererbt? Wenn ein großer Körper über einem mittleren und der mittlere über einem kleinen Körper jeweils separabel sind, dann ist es auch der große über dem kleinen.
Welche Definition von separabel benutzt du denn? f und f' sind teilerfremd?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
> Ist dir bekannt, daß separabel eine Eigenschaft ist, die
> sich vererbt? Wenn ein großer Körper über einem mittleren
> und der mittlere über einem kleinen Körper jeweils
> separabel sind, dann ist es auch der große über dem
> kleinen.
Ja, das ist mir bekannt.
L/K ist algebraisch, also gilt die Aussage auch in meinem Fall.
Es ist K [mm] \subset [/mm] K(a) [mm] \subset [/mm] L und dass diese separabel sind kann ich mit Hilfe der Minimalpolynome zeigen, oder?
Also:
i) Betrachte K(a)/K [mm] (a\notin [/mm] K). Sei [mm] f=x^2-a^2
[/mm]
Da f [mm] \not= [/mm] 0, f(a)=0, f normiert und irreduzibel über K (weil a [mm] \notin [/mm] K) [mm] \Rightarrow f=m_{K,a}. [/mm]
Sei L' der ZFK von f über K(a), dann ist f=(x-a)(x-b).
[mm] \Rightarrow [/mm] b=-a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \in [/mm] K(a)
Also [mm] f=m_{K,a} [/mm] separabel über K und [mm] f=m_{K,-a}.
[/mm]
Somit jedes Element c von K(a) separabel über K.
[mm] \Rightarrow [/mm] K(a)/K separabel.
ii) Analog
> Welche Definition von separabel benutzt du denn? f und f'
> sind teilerfremd?
L/K normal und separabel [mm] \gdw [/mm] L/K galoissch
f separabel über K [mm] \gdw \vmat{ W} [/mm] = n = grd(f) (f hat keine Doppelwurzeln)
Außerdem weiß ich: char(K)=0 => f separabel, char(K)=p>0, [mm] K^p=\{x^p\x \in K} \cong [/mm] K. Ist f [mm] \in K^p \Rightarrow [/mm] f separabel über K.
Und die Definition eines vollkommenen Körpers.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 05.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Ist meine Überlegung so schlecht oder hattet ihr einfach keine Zeit mir zu antworten?
Würd mich freuen, wen ihr mir nochmal Feedback geben könnt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 09.06.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
| Aufgabe | Sei K Körper mit char(K) [mm] \not= [/mm] 2 und L=K(a,b) mit [mm] a^2,b^2 \in [/mm] K.
zz. L/K galoissch |
Mir ist deine Frage zu dieser Aufgabe und deinen verschiedenen Überlegungen nicht wirklich klar. Andererseits stört mich der rote Punkt.
Dir ist nach allem, was bisher gesagt ist, bekannt, daß [K(a,b):K(a)] und [K(a):K] jeweils Galois-Erweiterungen sind. Die Ordnungen sollen 2 sein, obwohl das aus den Angaben nicht zwingend folgt. (b [mm] \in [/mm] K(a) war nicht ausgeschlossen.) Dann seien die erzeugenden Elemente der Galois-Gruppen [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi. [/mm] Mit diesen Angaben kannst du die Galois-Gruppe von L/K beschreiben.
Falls noch Fragen offen sind, bitte ich dich, sie genau zu spezifizieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Danke für eure Hilfe!
Mittlerweile ist mir die Aufgabe klar :)
Tut mir Leid, wenn meine Fragen nicht so leicht zu verstehen waren...
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