g(x) = x*f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien f: [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] ud g: [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] gegeben, mit g(x):= x*f(x) für [mm] |x|\le [/mm] 1. Zeige:
a) f beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] g stetig in 0
b) f stetig in 0 [mm] \Rightarrow [/mm] g diff'bar in 0 |
Hallo!
b) hab ich hinbekommen (glaub ich...):
f stetig in 0 [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = f(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x*f(x)-0*f(0)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x*f(x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = f(0) [mm] \Rightarrow [/mm] g diff'bar in 0
Bei a) bekomme ich meine Ideen noch nicht richtig geordnet:
g stetig in 0, d.h.: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x) = g(0) = 0*f(0) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x*f(x) (soll sein) = 0
Brauche ich hier die Beschränktheit von f damit im Falle " [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x*f(x) = 0*f(0)" f(0) nicht gegen [mm] \infty [/mm] abhaut und somit [mm] 0*\infty \not= [/mm] 0?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 13.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
b) ist richtig
a)ja du brauchst |f(x)|<S [mm] S\in\IR [/mm] damit du schreiben kannst |f(x)*x|<|Sx| und dann den lim bilden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also wäre die elegante Lösung für a):
f beschränkt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] S [mm] \in \IR\quad \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1] : |f(x)| [mm] \le [/mm] S
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x*f(x) [mm] \le \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] xS = 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fagottator!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
|
|
|
|
