fundamentalsystem von lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man bestimme ein Fundamentalsystem von Lösungen der folgenden homogenen linearen DGL:
(i) y''' - y'' - 2y' = 0 |
Hallo!
man muss doch setzen:
[mm] y_1 [/mm] = y'
[mm] y_2 [/mm] = y''
[mm] y_2 [/mm] = y''' = 2y' + y'' = [mm] 2y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
nur weiter weiß ich nicht.... würd mich sehr freuen, wenn ihr mir weitrhelfen könntet...?!
viele grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mi 16.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Riley,
kennst du zufällig den Lsg-Ansatz über die Nullstellen des Polynoms, das sich aus der DGL ableiten läßt, welche letztlich dein Fundamentalsystem ergeben. Dabei können auch komplexe Nullstellen auftreten.
Zur Verdeutlichung ein kleines Beispiel:
y''-4y=0
y''+ 0*y'-4y=0
P(t)= [mm] t^2 [/mm] + 0*t -4
P(t)=0
[mm] t^2-4=0[/red]
[/mm]
[mm] t_1 [/mm] = 2
[mm] t_2 [/mm] = -2
Somit Lösungen [mm] \phi [/mm] (k) gegeben durch: c [mm] e^{NS*k} [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
1) [mm] c_1 e^{2k}
[/mm]
2) [mm] c_2 e^{-2k}
[/mm]
Das Fundamentalsystem ist: [mm] \{c_1 e^{2k} , c_2 e^{-2k} \}
[/mm]
Die Koeffizienten [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] können betimmt werden, wenn ein Anfangswertproblem zu der DGL gegeben ist.
Bei komplexen Nullstellen a+bi kann die Lösung in reelle Schreibweise übertragen werden, wenn die Koeffizienten der DGL alle reell sind oder die Realteile der komplexen Nullstellen (falls mehrere auftreten, z und [mm] \overline{z} [/mm] )
Es gilt [mm] e^{(a+bi)k} [/mm] = [mm] \begin{cases} e^{ak} cos(bk), & \mbox{für } b<0 \mbox{ } \\ e^{ak} sin(bk), & \mbox{für } b>0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Hinweis cos(-x) = cos(x) und sin(-x) = -sin(x)
Hoffe dir helfen zu können mit diesem Vorgehen.
Gilt übrigens nur für die Bestimmung des FS bzw. Lösungen von homogenen DGL, bei inhomogenen muß du beim Ansatz mit dem Polynome anders vorgehen!!
Dein Ansatz sollte sein P(t)= [mm] t^3-t^2-2t
[/mm]
Gruß
Ron
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Ron!
besten dank für deine hilfe & erklärung!!
also ich hab das jetzt mal genauso versucht:
t³-t²-2t = 0
t(t²-t-2) = 0
d.h. [mm] t_1 [/mm] = 0 oder t²-t-2 = (t+1)(t-1) = 0 d.h. [mm] t_2=-1 [/mm] und [mm] t_3 [/mm] = 2
dann bekomm ich das lösungssystem
[mm] \{ c_1 ; c_2e^{-k}, c_3 e^{2k} \}
[/mm]
stimm das so??
und wenn die vielfachheit einer nullstelle größer ist, funtioniert das dann noch genauso??
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
Hi
Ja dein Fundamentalsystem ist richtig. Solltest du mehrfache Nullstellen haben hilft folgender Satz:
Sei [mm] p(\lambda) [/mm] das charakteristische Polynom einer homogenen D'gl. mit den Nullstellen [mm]\lambda _{1},...,\lambda _{r}[/mm] und deren Vielfachheit [mm]k_{1}, ... ,k_{r}[/mm]. Dann bilden die Lösungen
[mm]
e^{\lambda _{1}t}, te^{\lambda _{1}t}, ... , t^{k_{1}-1}e^{\lambda _{1}t}, ... , e^{\lambda _{r}t}, ... , t^{k_{r}-1} e^{\lambda _{r}t}
[/mm]
ein Fundamentalsystem für alle Lösungen.
Im Falle komplexer Nullstellen wird es etwas komplizierter, aber ich schreibe es auf, wenn du interessiert bist.
Gruss
EvenSteven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi, vielen dank für deine erklärung.
d.h. in dem bsp oben, wenn die Vielfachheit(-1) = 3 wäre und vielfachheit(2) =5, wäre dann die lösunsmenge
[mm] \{ c_1, e^{-t}, t e^{-t}, e^{2t}, t e^{2t}, t² e^{2t}, t³e^{2t},t^4 e^{2t} \} [/mm] ?
d.h. ich bekomm immer so viele [mm] e^{\lambda_i t} [/mm] wie die vielfachheit der ns?
und könnte man das char.poly auch bestimmen, indem man ne matrix aufstellt?
viele grüße & many thx4 help
riley
|
|
|
| |
|
>wäre dann die lösunsmenge
> [mm]\{ c_1, e^{-t}, t e^{-t},e^{2t}, t e^{2t}, t² e^{2t}, t³e^{2t},t^4 e^{2t} \}[/mm]
> ?
>
> d.h. ich bekomm immer so viele [mm]e^{\lambda_i t}[/mm] wie die
> vielfachheit der ns?
> und könnte man das char.poly auch bestimmen, indem man ne
> matrix aufstellt?
Das Fundamentalsystem stimmt abgesehen davon, dass du [mm] t^2 e^{-t} [/mm] vergessen hast.
Ja sicher kannst du eine solche Matrix aufstellen, aber das ist dann doch der ziemlich indirekteste Weg, den es gibt :)
Gruss
EvenSteven
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 16.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
da brauche ich nichts mehr zu ergänzen, ist doch super von EvenSteven erklärt! Danke für die Unterstützung.
Gruß
Ron
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
hi evenSteven!
okay, vielen dank für deine hilfe! hat mir viel weitergeholfen! =)
viele grüße
riley
|
|
|
|
