www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 00:31 Sa 21.02.2004
Autor: Stefan

Von der Zahl [mm]\Phi[/mm] sei bekannt, dass sie der Gleichung [mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm] genügt. ([mm]\Phi[/mm] heißt dann die Zahl des Goldenen Schnittes.)

Wie groß ist dann [mm]\Phi^5[/mm]?

a) [mm]3\Phi + 1[/mm]
b) [mm]4\Phi + 2[/mm]
c) [mm]5\Phi + 3[/mm]
d) [mm]6\Phi + 4[/mm]
e) [mm]7\Phi + 5[/mm]

Welches ist das richtige Ergebnis?

        
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 26.02.2004
Autor: Larissa

Ich habe nicht so gnz verstanden, was die "Zahl des goldenen Schnittes" sein soll. Deshalb habe ich es auch nachgeschlagen, nur stand da etwas ganz anderes (oder aber ich habe es falsch aufgefasst, was wohl eher der Fall ist ;-)). Ist in dem Fall also nun gemeint, dass das Quadrat der Zahl gleich der Summer der Zahl mit 1 ist?

Bezug
                
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 26.02.2004
Autor: Stefan

Liebe Larissa,

normalerweise wird die "Zahl der goldenen Schnittes" zunächst anders definiert, nicht direkt über die Gleichung [mm]\Phi^2 = \Phi+1[/mm].

Der Goldene Schnitt bezeichnet mathematisch gesehen zunächst einmal ein Teilungsverhältnis. Dabei wird die Gesamtstrecke so in zwei Teilstrecken unterteilt, dass sich die Gesamtstrecke  zur größeren Teilstrecke verhält wie die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke. Man nennt dann dieses gemeinsame Verhältnis die Zahl des goldenen Schnittes und bezeichnet es mit [mm]\Phi[/mm]. Wir sagen mal der Einfachheit halber, die größere Teilstrecke habe die Länge 1.

Dann muss also gelten:

[mm]\Phi = \frac{\Phi}{1} = \frac{1}{\Phi-1}[/mm].

Wenn man das mit [mm]\Phi-1[/mm] durchmultipliziert, kommt man auf

[mm] \Phi^2 - \Phi= 1[/mm],

also auf

[mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm],

wie in der Aufgabenstellung. Für diese Aufgabe reicht es zu wissen, dass

[mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm]

gilt, dafür brauchst du die Herleitung nicht (nichtsdetotrotz ist sie interessant).

Nun rechnest du aus:

[mm]\Phi^5 = \Phi^2 * \Phi^2 * \Phi = (\Phi+1) \cdot (\Phi + 1) * \Phi = \ldots[/mm]

Na, jetzt klarer?

Der goldene Schnitt hat eine enorme Bedeutung auch in der Kunst und Musik (die Sache mit der Kunst ist etwas umstritten, da wird auch viel hineininterpretiert). Schau mal hier:

[]http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/art/gskunst.htm

[]http://marvin.sn.schule.de/~latein/wasgold.htm

Und hier noch etwas zur Geschichte des Goldenen Schnittes:

[]http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/history/gsgesch.htm

Auch in der Natur kommt der Goldene Schnitt vor:

[]http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/nature/gsnatur.htm

Versuch es doch jetzt nochmal... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Do 26.02.2004
Autor: Larissa

Erstmal Danke für die Informationen. Diese Erklärung, aber viel kürzer und schwerer, hatte ich auch gefunden.
Zu der Aufgabe. Ich denke, dass ich jetzt die Lösung gefunden habe. Hoffe ich jedenfalls ;-)! Ich finde nur das Zeichen für den goldenen Schnitt nicht. Ich ersetzte es jetzt einfach mal durch x. Hoffe das macht nichts. Also, das ist mein Weg:
...=(x²+x²)*x=(x+1)*(x+1)*x=2x(x+1)=2(x²+x)=2(x+1+x)=4x+2
Also müsste dann die Lösung b) richtig sein.

Bezug
                                
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Do 26.02.2004
Autor: Stefan

Liebe Larissa!

Erst einmal: Das Zitat von Erath ist echt cool. Ich kannte es zwar schon,  finde es aber ziemlich witzig.

> ...=(x²+x²)*x=(x+1)*(x+1)*x=2x(x+1)=2(x²+x)=2(x+1+x)=4x+2

Also, ich habe was anderes raus. Wie kommst du auf die [mm]2x[/mm] (oben rot markiert)?

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                        
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Do 26.02.2004
Autor: Larissa

Ich weiss zwar noch nicht mal wer Erath ist, aber das Zitat finde ich trotzdem witzig ;-)!
Zu der Aufgabe: Ehrlich gesagt weiss ich selbst nicht mehr genau, was ich gerechnet habe ;-). Ich glaube, ich habe aber mal wieder die Binomische Formel übersehen. Mache ich andauernd...;-). Ok, also in neuer Versuch:
...=(x+1)²*x=(x²+2x+1)*x=(x+1+2x+1)*x=(3x+2)*x=3x²+2x=3(x+1)+2x=3x+3+2x=5x+3
So, hoffe mal jetzt habe ich mich nicht schon wieder verrechnet ;-)

Bezug
                                                
Bezug
für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Do 26.02.2004
Autor: Stefan

Liebe Larissa,

sehr gut! Alles richtig! [ok]

Vinzenz Erath ist kein Mathematiker, sondern ein Schriftsteller, der im 20. Jahrhundert gelebt hat und vor ca. 30 Jahren gestorben ist. Relativ bekannt ist sein Buch "Größer als des Menschen Herz".

Hier noch ein Zitat von ihm:

Gott ist ein Kind, und als er zu spielen begann, trieb er Mathematik. Sie ist die göttlichste Spielerei unter den Menschen.

Daher werde ich wohl auch immer ein Kind bleiben. ;-)

Witzig auch, dass sein Name V. Erath nach Verrat klingt, und das  könnte man ja aus dem von dir zitierten Spruch auch ableiten, wenn man den ironischen Unterton überliest.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]