fragen maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
> Was ist das Lebesguesche Maß folgender Mengen M,N im R²?
>
> $\ [mm] M=\{(x,y)\in R²\,\big{|}\, x²+y² <= 1\}\ \backslash\ \{(x,y)\in R²\,\big{|}\,x\in Q\}\ \backslash\ \{(x,y)\in R²\,\big{|}\,y\in Q\}$
[/mm]
Hallo Chrizzel17,
M besteht aus allen Punkten P(x/y) der abgeschlossenen
Einheitskreisscheibe, für welche sowohl x als auch y
irrational sind. So vom Schiff aus betrachtet würde ich
sagen, dass wohl das Lebesgue-Maß dieser Menge iden-
tisch ist mit dem der gesamten Kreisfläche, also gleich [mm] \pi.
[/mm]
Für einen genauen Nachweis muss ich mich aber in
das Thema, das mich sehr lange nicht beschäftigt hat,
erst wieder einlesen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 25.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was ist das Lebesguesche Maß folgender Mengen M,N im R²?
>
> [mm] M=\{(x,y)\in \IR^2 \mid x²+y² <= 1\}\ \backslash\ \{(x,y)\in \IR²\,\mid x\in Q\}\ \backslash\ \{(x,y)\in \IR²\,\mid y\in Q\} [/mm]
>
> [mm] N=\{(x,y)\in \IR² \mid y+(cos(x))y=0\} [/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe jetzt schon stundenlang im Internet und in
> Büchern gesucht, aber ich habe bislang noch nicht einmal
> einen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe gefunden.
> Wäre schön, wenn mir jemand von euch dabei helfen
> könnte.
Du solltest dir erst einmal klarmachen, wie diese Mengen aussehen. Die Menge M besteht aus der Einheitskreisfläche, aus der Teile herausgenommen werden. Die beiden Mengen, die abgezogen werden, sind keine Teilmengen der Einheitskreisfläche, aber beide sind Nullmengen (warum?) Wie hängt das Maß von M mit den Maßen der drei beteiligten Mengen zusammen?
> Und noch eine Sache:
> Ist es richtig, dass das Lebesguesche Maß (LM) einer
> offenen Menge (i) definiert ist als LM(i):=Integral( 1dx)
> mit den Grenzen i
Nein. Diese beiden Zahlen sind gleich, aber du drehst die Logik um: erst brauchst du das Maß, dann kannst du das Integral über diese Beziehung definieren.
> Wie ist dann das Lebesguesche Maß einer abgeschlossenen
> bzw halb offenen Menge definiert?
Du meinst vermutlich ein halboffenes Intervall. Das ist doch ein offenes Intervall plus ein Punkt, der nicht im offenen Intervall liegt. Da eine Menge mit nur einem Punkt das Lebesguesche Maß 0 hat, hat ein halboffenes Intervall das gleiche Lebesguesche Maß wie das offene Intervall.
Anders ausgedrückt: das Lebesguesche Maß eines offenen, halboffenen, abgeschlossenen Intervalls ist die Länge des Intervalls.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
C hat meiner Meinung nach das Lebesguesche Maß 0, da der Schnitt eines Intervalls bestehend aus Elementen €R² mit Intervall bestehend aus Elementen aus R leer ist und somit die Menge C eine leere Menge ist.
Stimmt das so? ..
Gibt es eigentlich noch mehr "Tricks"/Eigenschaften die ich über das Lebesguesche Maß kennen sollte außer die bereits genannten?
Vielen Dank schonmal im Voraus :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 26.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Es wäre Alles einfacher zu lesen, wenn du den Formeleditor benutzen würdest statt deine Formeln als Text zu schreiben.
> [mm] $N:=\{(x,y)\in\IR^2 \mid y+cos(x)y=0\}$
[/mm]
> [mm] $C:=[(\IQ \times \IR) \cup (\IR \times \IQ)] \cap [0,1]^2 [/mm] $
>
> Zunächst ersteinmal vielen lieben Dank für die schnelle
> Reaktion!!
>
> Bezüglich der Menge
> [mm] $M=\{(x,y) \in\IR^2 \mid x²+y² <= 1\} \backslash \{(x,y) \in\IR^2 \mid x \in\IQ\} \backslash \{(x,y) \in\IR^2\mid y \in\IQ\}$ [/mm] denke ich inzwischen auch,
> dass das Lebesguesche Maß [mm]\pi.[/mm] beträgt.
> Die folgenden Mengen müssten jeweils lebesguesche
> Mullmengen sein, da sie abzählbare Teilmengen des R²
> sind. Richtig?
Nullmengen sind sie, aber sind sie wirklich abzählbar?
> [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 \mid x \in\IQ\}$ [/mm] ; [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 \mid y \in\IQ\}$
[/mm]
Diese Mengen sind doch das kartesische Produkt von [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IQ$. [/mm] Können sie also abzählbar sein?
Tipp: Sie sind beide die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen.
> Von daher gilt: Lebesguesche Maß(M)=Lebesguesche [mm] Maß$(\{(x,y) \in\IR^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}) [/mm] - 0 - 0 $
hmmm, dir ist schon klar, dass die beiden Mengen keine Teilmengen des Einheitskreises sind?
> Da die Menge [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 \mid x^2+y^2 \le 1\} [/mm] $ kompakt ist
> hat sie ein endliches Maß und da der Flächeninhalt eines
> Einheitskreises [mm]\pi[/mm] ist, ist das auch das Lebesguesche Maß von M.
OK, mit den obigen Einschränkungen.
> Fehlt mir noch das Maß von N und C.
> N lässt sich meiner Meinung aufteilen in die Mengen
> [mm]\{(x,0) \in\IR^2 \mid \text{$x$ beliebig}\} \cup \{((2n* \pi + \pi ),y) \in\IR^2\mid n\in\IZ, \text{$y$ beliebig}\}[/mm]
OK, wobei sie nicht disjunkt sind (aber nur einen gemeinsamen Punkt haben).
> Beide Mengen sind nicht abzählbar und/oder kompakt und
> haben somit das Lebesguesche Maß "unendlich" -->
> Lebesguesche Maß(N)=unendlich
Ich glaube, du verwechselst das Lebesguesche Maß auf [mm] $\IR$ [/mm] mit dem auf [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Die erste Menge ist das kartesische Produkt von [mm] $\IR$ [/mm] und eines Intervalls der Länge 0. Was ist also ihr Maß? Einfacher ausgedrückt: wie groß ist ihr Flächeninhalt?
Die zweite Menge ist eine Teilmenge von [mm] $\{(x,y) \in\IR^2 \mid x \in\IQ\}$, [/mm] von der du oben schriebst, dass sie eine Nullmenge sei. Das kann ja nicht stimmen.
Beide Mengen sind wieder kartesische Produkte einer abzählbaren und einer überabzählbaren Menge. Was folgt aus der [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] des Lebesgue-Maßes?
>
> C hat meiner Meinung nach das Lebesguesche Maß 0, da der
> Schnitt eines Intervalls bestehend aus Elementen [mm] $\in\IR^2$ [/mm] mit
> Intervall bestehend aus Elementen aus R leer ist und somit
> die Menge C eine leere Menge ist.
Hier verstehe ich überhaupt nicht, was du meinst. Es werden zwei Teilmengen des [mm] $\IR^2$ [/mm] vereinigt und dann mit dem Einheitsquadrat geschnitten.
> Gibt es eigentlich noch mehr "Tricks"/Eigenschaften die ich
> über das Lebesguesche Maß kennen sollte außer die
> bereits genannten?
Wie schon erwähnt, ist die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] wichtig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo Rainer, erneut vielen Dank für deine Antwort und für deine Geduld :)
Ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und komme zu ganz anderen Ergebnissen. Vorweg, ich habe die Ergebnisse Maß(N)=0 und Maß(C)=1.
Und so bin ich darauf gekommen:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 27.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer, erneut vielen Dank für deine Antwort und
> für deine Geduld :)
> Ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und komme zu ganz
> anderen Ergebnissen. Vorweg, ich habe die Ergebnisse
> Maß(N)=0 und Maß(C)=1.
> Und so bin ich darauf gekommen:
>
> [mm]N:=\{(x,y)\in\IR^2 \mid y+cos(x)y=0\}[/mm] = [mm]\{(x,0) \in\IR^2 \mid \text{[/mm]x[mm] beliebig}\} \cup \{((2n\cdot{} \pi + \pi ),y) \in\IR^2\mid n\in\IZ, \text{[/mm]y[mm] beliebig}\}[/mm]
>
> Maß(N)=0. Ich habe mir die Mengen jetzt bildlich
> vorgestellt. Im Koordinatensystem wäre es ja Annsammlung
> von senkrechten oder waagerechten Linien. Und der
> Flächeninhalt einer Linie ist 0.
Das ist zwar richtig, aber es sind unendlich viele Linien. Daher kannst du nicht einfach schließen, dass das Maß der Vereinigung 0 ist.
Mit dem gleichen Argument wäre das Maß eines Quadrats 0, denn es besteht aus unendlich vielen waagrechten Linien.
>
> Ich versteh allerdings diesen deinen Kommentar nicht:
> "Beide Mengen sind wieder kartesische Produkte einer
> abzählbaren und einer überabzählbaren Menge. Was folgt
> aus der [mm]\sigma [/mm]-Additivität des Lebesgue-Maßes?"
> Ich weiß, dass diese Additivität besagt, dass das Maß
> der Vereinigung von Mengen kleiner gleich der Summe der
> Maße der einzelnen Mengen ist. (Gleich falls disjunkt).
Nein, das stimmt so nicht. Das Maß einer abzählbaren Vereinigung disjunkter Mengen ist gleich der Summe der Maße der einzelnen Mengen.
> Kann diesen Satz jetzt aber leider nicht auf ein
> kartesisches Produkt umsetzen.
Mit diesem Satz stimmt dein Schluss: Die Menge N ist die Vereinigung abzählbar unendlich vieler Linien, die alle das Maß 0 haben, daher ist ihr Maß 0.
Anders ausgedrückt: das kartesische Produkt einer abzählbaren Menge und eines Intervalls hat das Maß 0, denn dieses Produkt besteht immer aus abzählbar vielen solchen Linien.
>
> Nun zu C:=[(Q x R) U (R x Q)] n [0,1]²
> Bei einem kartesischen Produkt aus QxR werden alle Punkte
> getroffen, außer die die eine irrationale Zahl als
> x-Koordinate haben.
Richtig. Also alle die, die eine rationale Zahl als x-Koordinate haben.
> Daraus folgt, dass [(Q x R) U (R x Q)] eine Fläche ergibt,
> welche von senkrechten/waagerechten Linien durchzogen ist
> (genau da wo x oder y irrational ist)
> Das gleiche entsteht hierbei: [(Q x R) U (R x Q)] n
> [0,1]²
> Eine 1x1 große Fläche, durchzogen von Linien. Da diese
> Linien aber das Lebesguesche Maß 0 haben
Jede für sich schon, aber warum sollte die Vereinigung aller dieser Linien das Maß 0 haben, schließlich sind es überabzählbar viele.
[mm] $Q\times [/mm] R$ und $R [mm] \times [/mm] Q$ sind gerade die beiden Mengen, die du bei der Menge M abgezogen hast. Dort hast du schon festgestellt, dass es Nullmengen sind.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Hilfe. Hast mir wirklich sehr geholfen!!
Aber eine kurze Frage zur Absicherung habe ich trotzdem noch.
Die Menge C hat doch weiterhin das Maß 1 oder?
Viiiielen Dank :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 30.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für deine Hilfe. Hast mir wirklich sehr
> geholfen!!
> Aber eine kurze Frage zur Absicherung habe ich trotzdem
> noch.
> Die Menge C hat doch weiterhin das Maß 1 oder?
Wieso weiterhin?
[mm] $Q\times [/mm] R$ und [mm] $R\times [/mm] Q$ sind Nullmengen. Egal womit du die schneidest, es kommt immer eine Nullmenge heraus.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 So 30.08.2009 | | Autor: | Chrizzel17 |
Vielen Dank für deine Hilfe :)
|
|
|
|
