folgenkompakte Teilmenge? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und geben Sie jeweils eine kurze Begründung (bzw. ein Gegenbeispiel) an.
[mm] {x\in\IR : |x| < 1} [/mm] ist eine folgenkompakte Teilmenge von [mm] \IR^{2} [/mm] (mit euklidischer Metrik). |
Ich habe dazu folgenden Satz gefunden, der diese Aussage, meiner Meinung nach, bestätigt:
Satz: Sei X ⊆ [mm] \IR^n. [/mm] Dann sind äquivalent:
(i) X ist folgenkompakt.
(ii) X ist beschränkt und abgeschlossen (beschränkt ⇔ ∃ R > 0: X ⊆ B[0,R]).
Allerdings glaube ich, dass ich auch ein Gegenbeispiel gefunden habe in Verbindung mit einer Definition.
[mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Definition dazu: "Sei (M,d) ein metr. Raum und K [mm] \subset [/mm] M. K ist Folgenkompakt, wenn jede Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] in K eine konvergente Teilfolge in K besitzt, d.h. der Gernzwert wieder in K liegt."
Bei dem Gegenbeispiel ist das ja nicht so, der Grenzwert ist 1, das liegt aber nicht in K.
Bei einer meiner beiden Überlegungen ist ein Fehler, aber bei welcher?
Vielen Dank schonmal für Hilfe,
Gruß
moti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
deine Folge ist zwar kein Gegenbeispiel, weil sie nicht in [mm] \IR^2 [/mm] liegt, aber die Idee ist völlig richtig.
Auch deine Argumente sind völlig richtig (auch die, dass du einen Denkfehler hast!).
Ist die Menge [mm] $\left\{x\in\IR^2: |x| < 1\right\}$ [/mm] denn abgeschlossen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
> Ist die Menge [mm]\left\{x\in\IR^2: |x| < 1\right\}[/mm] denn
> abgeschlossen?
>
Ja, die Menge ist abgeschlossen, zumindest sehe ich keinen Grund, warum sie nicht abgeschlossen ist... Hm... Deine Frage hört sich so an, als ob ich damit aber falsch liegen würde, oder?
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Hiho,
> Ja, die Menge ist abgeschlossen, zumindest sehe ich keinen Grund, warum sie nicht abgeschlossen ist
Dann beweise es doch mal.
Wann ist eine Menge abgeschlossen?
> ... Hm... Deine Frage hört sich so an, als ob ich damit aber falsch liegen würde, oder?
Das tolle an der Mathematik ist: Man kann das meiste beweisen. Und glücklicherweise geht das hier 
Also: Auf auf. Wenn du meinst, die Menge sei abgeschlossen: Zeige es!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
Ah, Momentchen. Eine Menge ist doch nur dann abgeschlossen, wenn der Rand der Menge, noch mit in der Menge enthalten ist. Also [-1,1] ist abgeschlossen, (-1,1) allerdings nicht. Denn man findet immer noch einen größeren Wert der in der Menge ist, aber <1 ist.
Da die Menge nicht abgeschlossen ist, ist die Definition hier nicht anwendbar und es sollte wohl eher ein Gegenbeispiel gefunden werden.
Hm, mein Beispiel war nicht im [mm] \IR^2, [/mm] mir fällt aber grade nicht ein, wie ich sowas in der Art in den [mm] \IR^2 [/mm] bekommen könnte....
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Hiho,
> Ah, Momentchen. Eine Menge ist doch nur dann abgeschlossen, wenn der Rand der Menge, noch mit in der Menge enthalten ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da die Menge nicht abgeschlossen ist, ist die Definition hier nicht anwendbar
Warum nicht? Es ist doch eine "genau dann, wenn" Bedingung.
Was bedeutet das also für die Kompaktheit?
> Hm, mein Beispiel war nicht im [mm]\IR^2,[/mm] mir fällt aber grade nicht ein, wie ich sowas in der Art in den [mm]\IR^2[/mm] bekommen könnte....
Na beispielsweise für ein beliebiges $x [mm] \in \IR^2\setminus\{0\}$ [/mm] wähle
[mm] $x_n [/mm] = [mm] \left(1 - \bruch{1}{n}\right)\bruch{x}{|x|}$
[/mm]
Nun klappt deine Argumentation genauso wie in [mm] $\IR$, [/mm] versuchs mal
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 13.02.2013 | | Autor: | moti |
Ich meinte, den Satz nicht die Definition. Den Satz können wir vergessen, weil |x|<1 nicht abgeschlossen ist.
Die Definiton funktioniert wunderbar. Wenn man das ganze mit deinem Beispiel anschaut (eigentlich ne einfache Idee mit [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] dahinter), dann sieht man, dass das ganze nicht Folgenkompakt ist.
Wenn n>1, bzw wenn n [mm] \to \infty, [/mm] dann nähert sich [mm] x_n [/mm] zwar an die 1 an, aber erreicht diesen Grenzwert nicht. Damit liegt der Grenzwert nicht in K, und damit ist das ganze nicht folgenkompakt.
Super, vielen Dank! So passt alles denk ich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich meinte, den Satz nicht die Definition. Den Satz können wir vergessen, weil |x|<1 nicht abgeschlossen ist.
Nein. Meine Aussage bezog sich auf den Satz.
Mach dir nochmal klar, dass der Satz durchaus funktioniert.
Es ist eine GENAU DANN, WENN Bedingung.
Was bedeutet das?
MFG,
Gono.
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