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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
eine meiner Aufgaben:
Seien $(X,d)$ und $(Y,e)$ halbmetrische Räume, $f: X [mm] \to [/mm] Y$ stetig und [m]K \subset X[/m] folgenkompakt, d.h. jede Folge in $K$ hat eine in $K$ konvergente Teilfolge. Zeigen Sie, dass [mm] $f_{|K}$ [/mm] gleichmäßig stetig und dass $f(K)$ folgenkompakt ist.
Ich möchte eigentlich nur, dass mein Beweis mal durchgelesen, kommentiert und ggf. verbessert wird oder dass man mich drauf hinweist, wenn etwas total falsch ist und der Beweis deswegen nicht mehr brauchbar ist (was ich natürlich nicht hoffe; aber sei's drum). 
Mein Beweis:
1.) [mm] $f_{|K}$ [/mm] ist glm. stetig:
Angenommen, nicht. Dann gibt's ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass für alle [mm] $\delta>0$ [/mm] gilt: es existieren $x,y [mm] \in [/mm] K$ (jeweils von [mm] $\delta$ [/mm] abhängig), so dass [mm] $d(x,y)<\delta$ [/mm] und [mm] $e(f(x),f(y))>\varepsilon$.
[/mm]
Die Folge [mm] $(\delta_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sei definiert durch [mm] $\delta_n:=\frac{1}{n}$. [/mm]
***
Dann gibt es [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [m](y_n)_{n \in \IN}[/m] mit [mm] $d(x_n,y_n)<\delta_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [m]e(f(x_n),f(y_n))>\varepsilon[/m] [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Da $K$ folgenkompakt ist, gibt es Teilfolgen [mm] $(x_{n_l})_{l \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_{n_l})_{l \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_{n_l} \to [/mm] x [mm] \in [/mm] K$, [mm] $y_{n_l} \to [/mm] y [mm] \in [/mm] K$.
***
Wegen der Dreiecksungleichung folgt weiter:
[m]d(x,y)\le \underbrace{d(x,x_{n_l})}_{\to 0}+\underbrace{d(x_{n_l},y_{n_l})}_{\to 0}+\underbrace{d(y_{n_l},y)}_{\to 0}[/m],
woraus $d(x,y)=0$ folgt.
(Aber nicht $x=y$, wie ich gerade bemerkt habe, da ja nur Halbmetrik! )
Damit gilt dann: $e(f(x),f(y))=0$ (edit Marcel, 28.10.04 um 12:34 Uhr: Ich hatte zuerst $f(x)=f(y)$ dort stehen, das ist aber im Allgemeinen falsch, da wir ja hier auch nur einen halbmetrischen Raum haben. So sollte es jetzt aber stimmen! ) wegen der Stetigkeit von $f$ in $K$ und da ja $x [mm] \in [/mm] K$.
Wegen der Stetigkeit von $f$ in $K$ folgt dann weiter mit der Dreiecksungl.:
[m]e(f(x_{n_l}),f(y_{n_l}))\le \underbrace{e(f(x_{n_l}),f(x))}_{\to 0}+\underbrace{e(f(x),f(y))}_{=0}+\underbrace{e(f(y),f(y_{n_l})}_{\to 0}[/m], d.h.:
[mm] $e(f(x_{n_l}),f(y_{n_l})) \to [/mm] 0$.
Das kann aber nicht sein, denn wegen dem Text zwischen *** ... **** (siehe oben) müßte ja
[mm] $e(f(x_{n_l}),f(y_{n_l})) [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $l [mm] \in \IN$ [/mm] sein, also Widerspruch.
Demnach muß [mm] $f_{|K}$ [/mm] glm. stetig sein.
2.) Wir wollen zeigen, dass $f(K)$ folgenkompakt ist:
Dazu sei [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $f(K)$. Dann gibt es eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \in K^{\IN}$, [/mm] so dass [mm] $f(x_n)=y_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Da $K$ folgenkompakt, existiert Teilfolge [mm] $(x_{n_l})_{l \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_{n_l} \to [/mm] x [mm] \in [/mm] K$.
Weil $f$ stetig ist, folgt dann weiter:
[mm] $f(x_{n_l}) \to [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(K)$.
Mit anderen Worten:
[mm] $(y_{n_l})_{l \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $y_{n_l}=f(x_{n_l})$ [/mm] ist eine Teilfolge von [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die in $f(K)$ konvergiert.
Also ist $f(K)$ folgenkompakt, da [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] beliebig war. [mm] $\Box$
[/mm]
So, dann bin ich mal gespannt, ob ich da nicht irgendwo Unsinn geschrieben habe oder etwas übersehen habe.
So, vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße,
Marcel
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Gruß Marcel!
Nach der Korrektur sieht der Beweis richtig aus.
Wichtig ist bei halbmetrischen Räumen vor allem, dass verschiedene Dinge, an die man beim Rechnen mit Folgen etc. gewohnt ist einfach nicht mehr stimmen. Die durch die Halbmetrik induzierte Topologie liefert im Allg. keine Hausdorff-Räume mehr und aus einem ähnlichen Grund geht die Eindeutigkeit der Grenzwerte verloren, das heißt eine Folge kann mehrere Grenzwerte haben.
In Deinem Beweis habe ich jetzt keine Lücken entdeckt. Es ist klar, dass Stetigkeit der Abbildung (im topologischen Sinn, also Urbilder offener Mengen sind offen) auch wieder das Folgenkriterium impliziert, allerdings wiederum ohne die Eindeutigkeit.
Fazit: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Lars!
> Gruß Marcel!
>
> Nach der Korrektur sieht der Beweis richtig aus.
Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, das ganze durchzulesen und zu durchdenken.
Leider ist es bei uns eigentlich das erste Mal, dass wir mit Halbmetriken arbeiten (der Begriff wurde früher zwar schonmal beiläufig erwähnt, aber mehr auch nicht).
Mit metrischen Räumen komme ich ganz gut klar, deshalb habe ich erst mal alles "wie gewohnt" gerechnet. Danach ist mir aufgefallen, dass ich aus $d(x,y)=0$ ja nicht $x=y$ folgern darf, weil wir ja nur Halbmetrik haben. Aber hab das geändert und mir ist aufgefallen, dass ich das $x=y$ ja auch nicht brauche, sondern dass $d(x,y)=0$ schon reicht.
(Ich muss mich noch ein bisschen dran gewohnen, dass aus [m]d(x,y)=0[/m] in halbmetrischen Räumen eben nicht unbedingt $x=y$ folgt, was man aber immer so gerne schnell hinschreibt, weil es ja irgendwie der Intuition entspricht.  )
Heute habe ich mich mit einem Kommilitonen über meinen Beweis unterhalten, und da habe ich gesagt: Wegen Stetigkeit folgt aus $d(x,y)=0$ auch $e(f(x),f(y))=0$ und deshalb $f(x)=f(y)$; und kaum hatte ich es ausgesprochen, da machte es "Klick" in meinem Kopf und ich sagte:
"Quatsch, es ist ja nur Halbmetrik, also folgt nur $e(f(x),f(y))=0$!"
Nochmal nachgeguckt, ob das am Beweis was ändert, tut's aber nicht! Schwein gehabt!
> Wichtig ist bei halbmetrischen Räumen vor allem, dass
> verschiedene Dinge, an die man beim Rechnen mit Folgen etc.
> gewohnt ist einfach nicht mehr stimmen. Die durch die
> Halbmetrik induzierte Topologie liefert im Allg. keine
> Hausdorff-Räume mehr und aus einem ähnlichen Grund geht die
> Eindeutigkeit der Grenzwerte verloren, das heißt eine Folge
> kann mehrere Grenzwerte haben.
> In Deinem Beweis habe ich jetzt keine Lücken entdeckt. Es
> ist klar, dass Stetigkeit der Abbildung (im topologischen
> Sinn, also Urbilder offener Mengen sind offen) auch wieder
> das Folgenkriterium impliziert, allerdings wiederum ohne
> die Eindeutigkeit.
Naja, wir hatten Stetigkeit wie in metrischen Räumen definiert (mit [m]\varepsilon-\delta[/m]-Kriterium), nur dass die Metriken durch Halbmetriken ersetzt wurden. Das Folgenkriterium nachzuweisen war eine (Teil-)Aufgabe der ersten Aufgabe des Übungszettels, deswegen habe ich es auch einfach hier verwendet ohne groß Worte darüber zu verlieren.
Vielen Dank auch für deine obigen zusätzlichen Erklärungen.
> Fazit:
Danke! ***freu*** ![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
> Gruß,
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> Lars
Liebe Grüße,
Marcel
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