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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Jogi04 |
| Aufgabe | man berechne für die ebene geschlossene schlinge [mm] \gamma [/mm] mit der parameterdarstellung:
x= [mm] 3t^2-1 [/mm] ; [mm] y=3t^3-t [/mm] ; /t/ [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
den inhalt der von [mm] \gamma [/mm] umrandeten fläche! |
hat irgendjemand eine ahnung?
hatte schon mit der lemniskate meine liebe mühe...
wäre euch dankbar!
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[mm]\varphi(t) = 3t^2 - 1 \, , \ \ \psi(t) = 3t^3 - t[/mm]
In einem [mm]tx[/mm]-Koordinatensystem beschreibt [mm]x = \varphi(t)[/mm] eine Parabel. Für [mm]- \sqrt{\frac{1}{3}} \leq t \leq 0[/mm] fallen die [mm]x[/mm]-Werte von 0 nach -1 ab, für [mm]0 \leq t \leq \sqrt{\frac{1}{3}}[/mm] steigen sie dann wieder von -1 auf 0 an (Symmetrie der Parabel).
[mm]y = \psi(t) = 3t^3 - t = t \left( 3t^2 - 1 \right)[/mm] hat bei [mm]- \sqrt{\frac{1}{3}}, \, 0, \, \sqrt{\frac{1}{3}}[/mm] Nullstellen. Als Funktion dritten Grades hat [mm]\psi[/mm] zwischen den ersten beiden Nullstellen positive und zwischen den letzten beiden Nullstellen negative Werte. Ändert [mm]t[/mm] das Vorzeichen, so auch [mm]y[/mm] (Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung in einem [mm]ty[/mm]-Koordinatensystem).
Betrachtet man also in einem [mm]xy[/mm]-Koordinatensystem die Kurve mit der Parameterdarstellung
[mm]x = \varphi(t) \, , \ \ y = \psi(t) \, ; \ \ - \sqrt{\frac{1}{3}} \leq t \leq \sqrt{\frac{1}{3}}[/mm]
so besteht diese aus zwei bezüglich der [mm]x[/mm]-Achse symmetrischen Stücken über dem [mm]x[/mm]-Intervall [mm][-1,0][/mm]. Das Stück im II. Quadranten ist der Graph einer Funktion [mm]f[/mm]. Wegen der Symmetrie gilt daher für die gesamte Fläche [mm]A[/mm], die durch die Kurve berandet wird:
[mm]A = 2 \int_{-1}^0 f(x)~\mathrm{d}x[/mm]
Um [mm]f[/mm] zu bekommen, löst man [mm]x = \varphi(t)[/mm] nach [mm]t = \varphi^{-1}(x)[/mm] auf und setzt das in [mm]y = \psi(t)[/mm] ein:
[mm]y = \psi \left( \varphi^{-1}(x) \right) = \left( \psi \circ \varphi^{-1} \right)(x)[/mm]
Es ist also [mm]f = \psi \circ \varphi^{-1}[/mm] die gesuchte Funktion. Du kannst nun diese Funktion [mm]f[/mm] bestimmen und das obige Integral ausrechnen. Das ist im Prinzip Schulmathematik. Nur bei der Berechnung von [mm]t = \varphi^{-1}(x)[/mm] mußt du aufpassen, denn bei dem Kurvenstück im II. Quadranten sind ja die Parameterwerte [mm]t[/mm] negativ.
Man braucht aber die Auflösung nach [mm]t[/mm] gar nicht explizit vorzunehmen, wenn man im Integral oben gleich wieder [mm]x = \varphi(t)[/mm] substituiert. Nach der Substitutionsregel gilt nämlich:
[mm]A = 2 \int_{-1}^0 f(x)~\mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{-\sqrt{\frac{1}{3}}} f ( \varphi(t) ) \cdot \varphi'(t)~\mathrm{d}t = -2 \int_{-\sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} \left( \psi \circ \varphi^{-1} \circ \varphi \right)(t) \cdot \varphi'(t)~\mathrm{d}t = -2 \int_{-\sqrt{\frac{1}{3}}}^{0} \psi(t) \, \varphi'(t)~\mathrm{d}t[/mm]
Mit der letzten Formel vermeidet man Wurzeln, denn der Integrand ist ja offenbar ganzrational in [mm]t[/mm].
Das Ganze kann man übrigens einfacher erhalten, wenn man Integralsätze wie z.B. den Satz von Stokes verwendet.
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