finde keine Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 16.01.2010 | | Autor: | andibeck |
| Aufgabe | | [mm]\integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, dx [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal
Ich suche jetzt schon den halben Tag nach einer Stammfunktion. Wenn jemand nen Tipp hätte wär das echt der Hammer, Danke
[mm]\integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, dx [/mm]
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Hallo andibeck,
> [mm]\integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, dx [/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo erstmal
> Ich suche jetzt schon den halben Tag nach einer
> Stammfunktion. Wenn jemand nen Tipp hätte wär das echt
> der Hammer, Danke
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> [mm]\integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, dx [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gemeint ist sicher das unbestimmte Integral ohne Grenzen, oder?
Nun, kennst du $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ dx}$ ?
Das ist der Areasinus Hyperbolicus $arsinh(x) \ + \ C$
Zeigen kannst du das durch eine Substitution $x=\sinh(u)$
Bedenke dabei 1) $\frac{d}{dz}\sinh(z)=\cosh(z)$ und $\frac{d}{dz}\cosh(z)=\sinh(z)$ und 2) $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$
Und entsprechend $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \ dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{a^2\cdot{}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^2+1\right]} \ dx}= ...$ durch entsprechende Substitution
Hier bei deinem Integral forme zunächst um, dann kommst du mit dem oben Gesagten auf eine passende Substitution.
Beginne damit, unter der Wurzel $a$ auszuklammen, dann kannst du es rausziehen aus dem Integral.
Anschließend mache eine quadr. Ergänzung mit dem Wurzelterm, dann sollte es nicht mehr schwer sein ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo andibeck!
Gemäß meiner Formelsammlung gilt:
$$a \ > \ 0 \ : \ F(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}*\ln\left|2*\wurzel{a*\left(a*x^2+b*x+c\right)}+2a*x+b\right|$$
[/mm]
$$a \ < \ 0 \ : \ F(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{\wurzel{-a}}*\arcsin\left(\bruch{2a*x+b}{\wurzel{b^2-4ac}}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 16.01.2010 | | Autor: | andibeck |
erstmal danke! aber wo setz ich jetzt [mm] x_1 [/mm] bzw [mm] x_0 [/mm] ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo
> erstmal danke! aber wo setz ich jetzt [mm]x_1[/mm] bzw [mm]x_0[/mm] ein?
Gesucht war
$ [mm] \integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, [/mm] dx $
Nach Loddar gilt
$ a \ > \ 0 \ : \ F(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}\cdot{}\ln\left|2\cdot{}\wurzel{a\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+b\cdot{}x+c\right)}+2a\cdot{}x+b\right| [/mm] $
$ a \ < \ 0 \ : \ F(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{\wurzel{-a}}\cdot{}\arcsin\left(\bruch{2a\cdot{}x+b}{\wurzel{b^2-4ac}}\right) [/mm] $
Das ist also eine Stammfunktion, und jetzt setzt du für x eben x1 und x2 ein,
formal sollte dir das bekannt vorkommen:
Für a > 0
$ [mm] \integral_{x0}^{x1} \left( \bruch{1}{\wurzel{ax^2 + bx + c}} \right)\, [/mm] dx = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}\cdot{}\ln\left|2\cdot{}\wurzel{a\cdot{}\left(a\cdot{}x^2+b\cdot{}x+c\right)}+2a\cdot{}x+b\right| |^{x_1}_{x_0}$
[/mm]
bzw letztendlich dann doch
$\ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}\cdot{}\ln\left|2\cdot{}\wurzel{a\cdot{}\left(a\cdot{}x_1^2+b\cdot{}x_1+c\right)}+2a\cdot{}x_1+b\right| [/mm] - (\ [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}}\cdot{}\ln\left|2\cdot{}\wurzel{a\cdot{}\left(a\cdot{}x_0^2+b\cdot{}x_0+c\right)}+2a\cdot{}x_0+b\right|)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Sa 16.01.2010 | | Autor: | andibeck |
Vielen dank
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