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| Aufgabe | Wir definieren F1 = F2 = 1 und für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 3: Fn =
[mm] F_{n-1} [/mm] + [mm] F_{n-2}. [/mm] Zeigen Sie nun:
Fn ist gerade genau dann wenn n durch 3 teilbar ist. |
also man sieht ja das das die fibonaccifolge ist nur das der index um 1 verschoben ist
so induktionsanfang ist klar, aufgabe auch, denn es gilt ja immer
gerade+ungerade=ungerade, ungerade+gerade=ungerade, ung+ung=gerade
2 + 1 = 3 3 + 2 = 5 3+5 = 8
aber wie mach ich die induktionsschritte, mein größtes problem ist das die folge rekursiv definiert ist
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Hiho,
nujo, wenn dir die Sache mit der Induktion klar ist, ist doch net schwer:
IA gilt:
IV: Aussage gilt für alle [mm]F_i, i
IS: Betrachte [mm] F_n.
[/mm]
[mm] F_n [/mm] gerade => Was heisst das für [mm] F_{n-1} [/mm] und [mm] F_{n-2} [/mm] ? Und damit dann für [mm] F_n? [/mm] => .... => n ist durch 3 teilbar.
Und die Rückrichtung: n ist durch 3 teilbar, was heisst das für n-1 und n-2 => ... => [mm] F_n [/mm] ist gerade.
MfG,
Gono.
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hi, also so ganz hab ich deine argumentation nicht verstanden :(
> [mm]F_n[/mm] gerade => Was heisst das für [mm]F_{n-1}[/mm] und [mm]F_{n-2}[/mm] ? Und
das heißt für [mm] F_{n-1} [/mm] und [mm] F_{n-2} [/mm] das beide ungerade sein müssen
> damit dann für [mm]F_n?[/mm] => .... => [mm]F_n[/mm] ist durch 3 teilbar.
also n soll durch 3 teilbar sein und nicht [mm] F_n [/mm] und wie kann ich darauf schließen?
> Und die Rückrichtung: [mm]F_n[/mm] ist durch 3 teilbar, was heisst
> das für [mm]F_{n-1}[/mm] und [mm]F_{n-2}[/mm] => ... => [mm]F_n[/mm] ist gerade.
dann hätt ich zb für n=9
[mm] F_8+F_7=F_9...wie [/mm] soll ich denn außer durch 1+1+2+3+5+8+13+21=34
nachrechen drauf kommen das das gerade ist?
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Hiho,
> Und
> das heißt für [mm]F_{n-1}[/mm] und [mm]F_{n-2}[/mm] das beide ungerade sein
> müssen
Richtig (auch wenn du noch kurz begründen musst, warum der Fall gerade + gerade nicht auftreten kann), wende dann die INDUKTIONSVORAUSSETZUNG auf die beiden an
, was heisst das also für n-1 und n-2 und damit dann für n?
> > Und die Rückrichtung: [mm]F_n[/mm] ist durch 3 teilbar, was heisst
> > das für [mm]F_{n-1}[/mm] und [mm]F_{n-2}[/mm] => ... => [mm]F_n[/mm] ist gerade.
Nunja, ich denke wenn du die Hinrichtung verstanden hast, klappt die hier von ganz alleine, ist die gleiche Argumentation genau andersherum.
MfG,
Gono.
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