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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 14.11.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | [mm] x_k= \bruch{f_k_+_1 }{f_k}, [/mm] wobei [mm] f_k_+_1=f_k [/mm] + [mm] f_k_-_1 [/mm] die Folge der Fibonacci Zahlen definiert.
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Hallo,
ich würde gern wissen, wie man auf [mm] x_k_+_1 [/mm] kommt bzw. wie man beweisen kann, dass [mm] x_k_+_1 [/mm] = 1 + [mm] 1/x_k [/mm] ist.
Das es so ist, ist offensichtlich, aber wie kann ich das zeigen? Indunktion?
Oder gibt es "einfache" Rechenregeln für rekursive folgen?
bin für jeden Hinweis dankbar
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Hallo dorix,
> [mm]x_k= \bruch{f_k_+_1 }{f_k},[/mm] wobei [mm]f_k_+_1=f_k[/mm] + [mm]f_k_-_1[/mm] die
> Folge der Fibonacci Zahlen definiert.
>
> Hallo,
>
> ich würde gern wissen, wie man auf [mm]x_k_+_1[/mm] kommt bzw. wie
> man beweisen kann, dass [mm]x_k_+_1[/mm] = 1 + [mm]1/x_k[/mm] ist.
>
> Das es so ist, ist offensichtlich, aber wie kann ich das
> zeigen? Indunktion?
> Oder gibt es "einfache" Rechenregeln für rekursive
> folgen?
Einfach die Definition einsetzen und geradeheraus ausrechnen:
Mit [mm] $x_k=\frac{f_{k+1}}{f_k}$ [/mm] ist doch [mm] $x_{k+1}=\frac{f_{k+2}}{f_{k+1}}$
[/mm]
Hier setze nun die rekursive Definition für [mm] $f_{k+2}$ [/mm] ein
[mm] $...=\frac{f_{k+1}+f_k}{f_{k+1}}=1+\underbrace{\frac{f_k}{f_{k+1}}}_{=\frac{1}{x_k}}=1+\frac{1}{x_k}$
[/mm]
>
> bin für jeden Hinweis dankbar
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 14.11.2008 | | Autor: | dorix |
hallo schachuzipus,
danke für die wirklich schnelle antwort und ich bin peinlich berührt über diese simple lösung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Fr 14.11.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | [mm] \left| x_k-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^1} \right)
[/mm]
g= [mm] \left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right)
[/mm]
[mm] x_k [/mm] wie oben |
hallo
habe angefangen indem ich erstmal für [mm] x_k= [/mm] 1 eingesetzt habe, weil alle größer, oder gleich sind (erlaubt?). dann folgt
[mm] \left| 1-\left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right)\right|\le \left( \bruch{1}{ \left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2}\right)^{k+1}} \right)...
[/mm]
[mm] \left( \bruch{-1+\wurzel{5}}{2} \right)\le \left( \bruch{ (1+\wurzel{5})^{-k-1}}{2^ {-k-1}}\right)...
[/mm]
und letztlich
[mm] \left( \bruch{-1+\wurzel{5}}{2^{k+1}} \right)\le \left( \bruch{2}{(1+\wurzel{5})^{k+1}}\right).
[/mm]
bezweifle, dass dies so stimmt bzw. dass es reicht....
hat vielleicht jemand ne idee dazu?
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Dafür wäre es sicher sinnvoll gewesen, eine ganz neue Anfrage zu starten, auch wenn diese Ungleichung natürlich mit der Beschäftigung mit der Fibonaccifolge zusammenhängt.
Diese Ungleichung wirst Du nur per vollständiger Induktion beweisen können. Und damit hast Du eigentlich auch schon angefangen.
Zeige, dass die Behauptung für [mm] x_1=1 [/mm] stimmt.
Zeige dann, dass, wenn die Behauptung für ein beliebiges [mm] x_n [/mm] stimmt, auch für [mm] x_{n+1} [/mm] stimmt.
Nun hast Du ja für [mm] x_1=1 [/mm] schon mal losgerechnet. Allerdings hast Du erstmal weiter ein allgemeines k angenommen. Deine Umformungen sind etwas eigenartig, aber richtig.
Aber warum hörst Du auf? Die letzte Ungleichung ist doch noch ganz unübersichtlich. Stimmt sie denn?
Ich habe meine Zweifel an der zu zeigenden Ungleichung. Ist denn wirklich [mm] x_1=1, x_2=2, x_3=\bruch{3}{2}, x_4=\bruch{5}{3} [/mm] etc.? Oder läuft der Index an anderer Stelle los?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 14.11.2008 | | Autor: | dorix |
hallo reverend,
danke erstmal
> Dafür wäre es sicher sinnvoll gewesen, eine ganz neue
> Anfrage zu starten, auch wenn diese Ungleichung natürlich
> mit der Beschäftigung mit der Fibonaccifolge
> zusammenhängt.
magst du recht haben, sorry;-(
> Diese Ungleichung wirst Du nur per vollständiger Induktion
> beweisen können. Und damit hast Du eigentlich auch schon
> angefangen.
>
> Zeige, dass die Behauptung für [mm]x_1=1[/mm] stimmt.
> Zeige dann, dass, wenn die Behauptung für ein beliebiges
> [mm]x_n[/mm] stimmt, auch für [mm]x_{n+1}[/mm] stimmt.
induktion is leider nicht gerad meine stärke... gibt es ne andere möglichkeit über abschätzen oder so?
> Nun hast Du ja für [mm]x_1=1[/mm] schon mal losgerechnet. Allerdings
> hast Du erstmal weiter ein allgemeines k angenommen. Deine
> Umformungen sind etwas eigenartig, aber richtig.
>
> Aber warum hörst Du auf? Die letzte Ungleichung ist doch
> noch ganz unübersichtlich. Stimmt sie denn?
>
> Ich habe meine Zweifel an der zu zeigenden Ungleichung. Ist
> denn wirklich [mm]x_1=1, x_2=2, x_3=\bruch{3}{2}, x_4=\bruch{5}{3}[/mm]
> etc.? Oder läuft der Index an anderer Stelle los?
diese müsste so stimmen, da [mm] x_k [/mm] so definiert ist.
Vielleicht solltest du noch wissen, dass die vollst. Aufgabe noch eine andere ungleichung beinhaltet, nämlich:
[mm] \left| x_k_+_1 -g \right|\le 1/g\left| x_k-g \right|
[/mm]
Sinn und Zweck davon soll das zeigen von monotonie und beschränkheit sein, jedoch hätte ich es anders gemacht als mit diesen blöden ungleichungen...jedoch lautet die aufgabe so.
kannst du mir denn zeigen, wie ich s ohne ind. hinbekommen?
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Die Ungleichung ist für k=1 und k=2 nicht erfüllt, aber dann...
Du kannst sie "direkt" nur zeigen, wenn Du einen expliziten Ausdruck für [mm] x_k [/mm] hast, und nicht wie bisher nur einen rekursiven. Du brauchst also irgendein [mm] x_k=f(k).
[/mm]
Soweit ich weiß, gibt's eine solche Umformung für Fibonacci nicht, aber vielleicht kennt ja wer anders einen Weg. Blöd ist z.B., dass für ungerade k [mm] x_kg.
[/mm]
Ansonsten bleibt Dir halt nur die Induktion ab k=3, sorry.
Obwohl die andere Ungleichung da freundlicher aussieht (du kennst ja eine Beziehung zwischen [mm] x_k [/mm] und [mm] x_{k+1}), [/mm] sehe ich auch keinen Weg, das direkt zu zeigen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:06 Fr 14.11.2008 | | Autor: | dorix |
ok, danke dafür...
dann bleibt noch methode ind.
theorie is mir bekannt...nur hier krieg ich nix zustande.
wenn du lust und zeit hast, könntest du mir dazu nen paar hilfen schicken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Fr 14.11.2008 | | Autor: | reverend |
Gar nicht so einfach. Im Moment bin ich auch mit was anderem beschäftigt und krieg es nebenbei irgendwie nicht hin. Die Betragsstriche stören erheblich. Vielleicht ist es eher möglich, wenn man zwischen geraden und ungeraden k unterscheidet, und beide jeweils einzeln per Induktion beweist. Das wären aber für die beiden Ungleichungen dann schon vier Beweise...
Wenn Du irgendwas findest, auch Sackgassen, dann stells ruhig hier ein. Vielleicht bringt es ja jemand anders auf eine Idee.
Nur Mut, wird schon klappen.
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hier erneut und übersichtlich gepostet.
Gruß v. Angela
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