fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien [mm] $X_1, X_2,...$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit identischer Verteilung. Die Zufallsvariablen seien nichtnegativ und es existiere [mm] $E[X_1^k]$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}X_n$ [/mm] fast sicher gegen 0 konvergiert.
b) Bestimmen Sie [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] P [mm] \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_k]) \le X_n\right)$. [/mm] |
Hallo zusammen!
Dies ist eine alte Klausuraufgabe, kann also eigentlich gar nicht so schwer sein aber mit Konvergenz von Zufallsvariablen stehe ich leider auf Kriegsfuß.
Beim Teil a) ist als Hinweis noch angegeben, dass man das Lemma von Borel-Cantelli verwenden soll. Ich muß ja [mm] $P\left(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}X_n=0\right)=1$ [/mm] zeigen. Angenommen das wäre nicht der Fall, dann müsste es ein [mm] $\epsilon [/mm] >0$ geben, sodass unendlich oft [mm] $|\frac{1}{\sqrt{n}}X_n [/mm] -0|= [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}X_n >\epsilon$ [/mm] gilt. Diese Ereignisse sollen die [mm] $A_n$ [/mm] sein. Wenn [mm] $\sum_{n\ge 1}^{\infty}P(A_n)<\infty$ [/mm] ist, dann folgt doch aus dem Lemma von Borel-Cantelli [mm] $P(\limsup A_n)=0$ [/mm] und damit die Behauptung, oder? Nur krieg ich das leider nicht hin.
Bei der b) dachte ich, dass nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty}P\left(|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1]>\epsilon\right)=0$. [/mm]
Also [mm] $\lim_{n\to\infty}P \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_k]) \le X_n\right)=\lim_{n\to\infty}P \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_1]) \le X_n\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}P \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1] \le \frac{1}{n}X_n\right)= [/mm] 1 - [mm] \lim_{n\to\infty}P \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1] > \frac{1}{n}X_n\right)= [/mm] 1-0=1.$ Stimmt das so?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß couldbeworse
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mo 17.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo couldbeworse!
> Es seien [mm]X_1, X_2,...[/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit
> identischer Verteilung. Die Zufallsvariablen seien
> nichtnegativ und es existiere [mm]E[X_1^k][/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm].
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\frac{1}{\sqrt{n}}X_n[/mm] fast sicher gegen
> 0 konvergiert.
>
> b) Bestimmen Sie [mm]\lim_{n\to\infty} P \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_k]) \le X_n\right)[/mm].
> Dies ist eine alte Klausuraufgabe, kann also eigentlich gar
> nicht so schwer sein aber mit Konvergenz von
> Zufallsvariablen stehe ich leider auf Kriegsfuß.
Mir erscheint diese Aufgabe für eine Klausuraufgabe eigentlich zu schwer. Oder ich habe leichtere Lösungswege übersehen... 
> Beim Teil a) ist als Hinweis noch angegeben, dass man das
> Lemma von Borel-Cantelli verwenden soll. Ich muß ja
> [mm]P\left(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}X_n=0\right)=1[/mm]
> zeigen.
Genau.
> Angenommen das wäre nicht der Fall, dann müsste
> es ein [mm]\epsilon >0[/mm] geben, sodass unendlich oft
> [mm]|\frac{1}{\sqrt{n}}X_n -0|= \frac{1}{\sqrt{n}}X_n >\epsilon[/mm]
> gilt.
Das stimmt so nicht. Es würde stimmen, wenn [mm] $X_n$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen und keine Folge von Zufallsgrößen wäre.
Aber man kann zeigen, dass im Falle der "Nicht-fast-sicheren-Konvergenz" von [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}X_n$ [/mm] gegen 0 ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existieren würde mit
(*) [mm] $P(\limsup_{n\to\infty}\{\frac{1}{\sqrt{n}}X_n>\varepsilon\})>0$.
[/mm]
> Diese Ereignisse sollen die [mm]A_n[/mm] sein. Wenn [mm]\sum_{n\ge 1}^{\infty}P(A_n)<\infty[/mm]
> ist, dann folgt doch aus dem Lemma von Borel-Cantelli
> [mm]P(\limsup A_n)=0[/mm] und damit die Behauptung, oder?
Ja, dann folgt ein Widerspruch zu (*).
> Nur krieg
> ich das leider nicht hin.
Mir fällt leider kein schönerer Weg als folgender ein:
Es gilt wegen [mm] $X_n\ge0$
[/mm]
[mm] $A_n=\{\frac{X_n^4}{\varepsilon^4}>n^2\}$.
[/mm]
Also folgt mit der identischen Verteilung der [mm] $X_n$ [/mm] und der Markov-Ungleichung
[mm] $P(A_n)=P(\frac{X_1^4}{\varepsilon^4}>n^2)\le \frac{E \frac{(X_1)^4}{\varepsilon^4}}{n^2}$.
[/mm]
Kriegst du damit [mm] $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$ [/mm] gezeigt?
> Bei der b) dachte ich, dass nach dem schwachen Gesetz der
> großen Zahlen
für alle reellen Zahlen [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
> gilt:
> [mm]\lim_{n\to\infty}P\left(|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1]>\epsilon\right)=0[/mm].
>
> Also [mm]\lim_{n\to\infty}P \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_k]) \le X_n\right)=\lim_{n\to\infty}P \left( \sum_{k=1}^n (X_k - E[X_1]) \le X_n\right) = \lim_{n\to\infty}P \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1] \le \frac{1}{n}X_n\right)= 1 - \lim_{n\to\infty}P \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - E[X_1] > \frac{1}{n}X_n\right)= 1-0=1.[/mm]
> Stimmt das so?
Nein, der vorletzte Schritt ist falsch. [mm] $\frac{1}{n}X_n$ [/mm] ist keine feste reelle Zahl, sondern eine Zufallsvariable (die zu allem Unglück auch noch von $n$ abhängt...). Also kannst du nicht [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{n}X_n$ [/mm] wählen.
Die Idee bei b) ist, den zentralen Grenzwertsatz und a) (oder zumindest die stochastische Konvergenz von [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}X_n$ [/mm] gegen 0) ins Spiel zu bringen:
Sei [mm] $\mu:=EX_1$ [/mm] und [mm] $\sigma:=\sqrt{\operatorname{Var}X_1}$.
[/mm]
Den Fall [mm] $\sigma=0$ [/mm] (dann sind alle [mm] $X_n$ [/mm] konstant) überlasse ich dir. Sei nun [mm] $\sigma>0$.
[/mm]
Wir können die Ereignisse
[mm] $B_n:=\{\sum_{k=1}^n (X_k-EX_k)\le X_n\}$
[/mm]
aus der Aufgabenstellung mit [mm] $\mu:=EX_1$ [/mm] und [mm] $\sigma^2:=\operatorname{Var}X_1$ [/mm] umschreiben zu
[mm] $B_n=\{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}*\sigma}(\sum_{k=1}^nX_k-n*\mu)}_{=:Z_n}\le\frac{1}{\sigma}*\frac{1}{\sqrt{n}}X_n\}$.
[/mm]
(Die linke Seite vom [mm] $\le$-Zeichen [/mm] sieht schon sehr nach dem zentralen Grenzwertsatz aus, aber auf der rechten Seite steht leider noch keine reelle Zahl...)
Für [mm] $\delta>0$ [/mm] sei
[mm] $C_{n,\delta}:=\{\frac{1}{\sigma}*\frac{1}{\sqrt{n}}X_n>\delta\}$.
[/mm]
Wir wollen [mm] $P(B_n)$ [/mm] nach oben und unten abschätzen. Es gilt für alle [mm] $\delta>0$
[/mm]
[mm] $\{Z_n\le0\}\subseteq B_n=(B_n\cap C_{n,\delta})\cup(B_n\cap (C_{n,\delta})^c)\subseteq C_{n,\delta}\cup\{Z_n\le\delta\}$
[/mm]
und somit
[mm] $P(\{Z_n\le 0\})\le P(B_n)\le P(C_{n,\delta})+P(Z_n\le\delta)$.
[/mm]
Wie verhalten sich die Folgen
[mm] $(P(\{Z_n\le 0\}))_{n\in\IN}$
[/mm]
und
[mm] $(P(C_{n,\delta})+P(Z_n\le\delta))_{n\in\IN}$
[/mm]
für $n$ gegen [mm] $\infty$? [/mm] Wende dazu den zentralen Grenzwertsatz und Teil a) an.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
