faktorisieren eines polynoms < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Hallo, ich soll folgende polynome in ihre linearfaktoren zerlegen
[mm] x^4+1
[/mm]
als hinweis zu der aufgabe [mm]\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}*j\right)^2=\pm[/mm] j
Meine frage nun wie nutze ich bei der lösung der aufgabe den hinweis ???
Ich habe das bisher einfach so gelöst und in die 4 linearfaktoren
(x+1)(x-1)(x+j)(x-j) zerlegt, wie nutze ich dabei den hinweis ???
ebenso bei der aufgabe
[mm] x^4+4
[/mm]
da habe ich den hinweis
(a [mm]\pm[/mm] [mm] aj)^2=[/mm] [mm]\pm[/mm] 2a^2j
aber beide weiss ich nicht zu nutzen, aus reinem interesse wie nutze ich diese hinweise ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich soll folgende polynome in ihre linearfaktoren
> zerlegen
> [mm]x^4+1[/mm]
> als hinweis zu der aufgabe [mm]\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}*j\right)^2=\pm[/mm]
> j
>
> Meine frage nun wie nutze ich bei der lösung der aufgabe
> den hinweis ???
> Ich habe das bisher einfach so gelöst und in die 4
> linearfaktoren
> (x+1)(x-1)(x+j)(x-j) zerlegt,
Hallo,
wenn Du das so gemacht hast, hast Du es nicht besonders gut gemacht...
Es ist doch [mm] (x+1)(x-1)(x+j)(x-j)=(x^2-1)(x^2-j^2)=(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1 \not= x^4+1.
[/mm]
Du bekommst mit der 3.binomischen Formel
[mm] x^4+1=x^4-j^2=(x^2-j)(x^2+j)=(x^2-j)(x^2-(-j)), [/mm]
und für die weiteren Zerlegungen, wieder mit der 3.binomischen Formel, hilft Dir der Tip:
[mm] ...=(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}*j\right)^2)(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}- \bruch{1}{\wurzel{2}}*j\right)^2)=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Danke für die schnelle antwort angela :o)
Das hab ich nun verstanden, aber wie gehe ich dann weiter vor ???
Ich habversucht da weiterzukommen komme aber nicht wirklich weiter
was stelle ich nun damit an
$ [mm] ...=(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}- \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)=... [/mm] $
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Hallo Walli!
Auf diese beiden Terme der Form [mm] $x^2-a^2$ [/mm] kannst Du nun jeweils die 3.  binomische Formel anwenden, um in die Linearfaktoren zu zerlegen:
[mm] $x^2-a^2 [/mm] \ = \ (x+a)*(x-a)$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Das heisst ich hätte diese vier linearfaktoren ?!?!?!
[mm] (x^2+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)(x^2+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)(x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 21.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nein, denn wenn du das ausmultiplizierst, kommst du auf ein Ergebnis mit [mm] x^{8}, [/mm] da [mm] x²*x²*x²*x²=x^{8}
[/mm]
Du musst [mm] (x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)
[/mm]
und
[mm] (x^2-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}- \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)^2)
[/mm]
noch in Linearfaktoren zerlegen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Sorry mein fehler natürlich die faktoren ohne die quadrate bei x und der klammer mit den wurzeln, also
[mm](x+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Schonwieder ein fehler bei der eingabe, sorry ;o/
[mm] (x+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x+(\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right))(x-(\left( \bruch{1}{\wurzel{2}}- \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}j\right)) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 21.08.2007 | | Autor: | TanjaH |
Hallo walli,
ich beantworte dir hier mal deine Mitteilung (die weiter unten steht)
das Ergebnis ist korrekt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Tanja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 21.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Walli.
Das kannst du auch selber prüfen, wenn du alles wieder ausmultiplizierst.
Marius
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