f(x,y) stetig im Ursprung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Fr 06.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Sei $ [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] $ mit $ f(x,y) := [mm] xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2} [/mm] $ für $ (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 $ und $ f(x,y) = 0 $ für $ (x,y) = 0 $ |
Hallo,
ich möchte zeigen, dass $ f $ im Ursprung nicht stetig ist.
Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm] $(x_n, y_n) \in \IR^2 [/mm] $ konstruieren, für die $ f $ nicht gegen $ 0 $ konvergiert.
Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein. Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass $ [mm] f(x_n,y_n) \to [/mm] 0 $. Oder überseh ich hier etwas?
Abschätzen ließ sich auch nichts, da $ x,y [mm] \in \IR [/mm] $.
Hätte jemand einen hilfreichen Tipp zu den Folgen oder eine Idee, wie ich das alternativ zeigen kann?
Freue mich über jede Hilfe.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:40 Fr 06.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
>
> ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.
>
> Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
>
> Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?
Es ist doch $f(x, y) = [mm] \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}$.
[/mm]
Setze $x = t$, $y = [mm] t^\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] > 0$. Dann hast du $f(x, y) = [mm] \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}$.
[/mm]
Waehle [mm] $\alpha$ [/mm] jetzt so, dass $4 - 2 [mm] \alpha [/mm] < 0$ ist, und berechne den Grenzwert fuer $t [mm] \to [/mm] 0$ mit L'Hospital. Dann kannst du [mm] $\alpha$ [/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:32 Fr 06.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Felix,
vielen Dank für Deine Tipps! Darauf muss man erstmal kommen.
Gäbe es einen alternativen Lösungsweg?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 06.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin Felix,
>
> vielen Dank für Deine Tipps! Darauf muss man erstmal
> kommen.
>
> Gäbe es einen alternativen Lösungsweg?
Siehe
https://matheraum.de/read?i=705407
FRED
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Fr 06.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin!
>
> > Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> > für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
> >
> > ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.
> >
> > Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> > konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
> >
> > Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> > einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> > Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> > klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> > [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?
>
> Es ist doch [mm]f(x, y) = \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}[/mm].
>
> Setze [mm]x = t[/mm], [mm]y = t^\alpha[/mm] mit [mm]\alpha > 0[/mm]. Dann hast du [mm]f(x, y) = \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}[/mm].
>
> Waehle [mm]\alpha[/mm] jetzt so, dass [mm]4 - 2 \alpha < 0[/mm] ist, und
> berechne den Grenzwert fuer [mm]t \to 0[/mm] mit L'Hospital. Dann
> kannst du [mm]\alpha[/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm]\infty[/mm]
> ist.
Hallo Felix,
das stimmt aber nicht, denn:
$ |f(x,y)| [mm] \le |x|^3 [/mm] $ für alle (x,y) $ [mm] \in \IR^2 [/mm] $
Gruß FRED
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Fr 06.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> > Es ist doch [mm]f(x, y) = \frac{x^3}{x^4/y^2 + 1}[/mm].
> >
> > Setze [mm]x = t[/mm], [mm]y = t^\alpha[/mm] mit [mm]\alpha > 0[/mm]. Dann hast du [mm]f(x, y) = \frac{t^3}{t^{4 - 2 \alpha} + 1}[/mm].
>
> >
> > Waehle [mm]\alpha[/mm] jetzt so, dass [mm]4 - 2 \alpha < 0[/mm] ist, und
> > berechne den Grenzwert fuer [mm]t \to 0[/mm] mit L'Hospital. Dann
> > kannst du [mm]\alpha[/mm] so waehlen, dass der Grenzwert [mm]\infty[/mm]
> > ist.
>
>
> Hallo Felix,
>
> das stimmt aber nicht, denn:
ja, das ist mir auch aufgefallen, nachdem ich deine Antwort gesehen hab. Ich hab mich offenbar beim L'Hospital anwenden verrechnet...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Fr 06.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y) := xy*\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm]
> für [mm](x,y) \not= 0[/mm] und [mm]f(x,y) = 0[/mm] für [mm](x,y) = 0[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte zeigen, dass [mm]f[/mm] im Ursprung nicht stetig ist.
Das wird Dir nicht gelingen ! Denn:
$|f(x,y)| [mm] \le |x|^3$ [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
FRED
>
> Dazu wollte ich mir eine Nullfolge [mm](x_n, y_n) \in \IR^2[/mm]
> konstruieren, für die [mm]f[/mm] nicht gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
>
> Allerdings musste ich feststellen, dass das garnicht so
> einfach ist. Zumindest fiel mir bisher nichts schlaues ein.
> Ich bin mir auch garnicht so sicher, ob das überhaupt
> klappt. Nach den Grenzwertsätzen folgt unmittelbar dass
> [mm]f(x_n,y_n) \to 0 [/mm]. Oder überseh ich hier etwas?
>
> Abschätzen ließ sich auch nichts, da [mm]x,y \in \IR [/mm].
>
> Hätte jemand einen hilfreichen Tipp zu den Folgen oder
> eine Idee, wie ich das alternativ zeigen kann?
>
> Freue mich über jede Hilfe.
> Vielen Dank
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 06.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche Funktion abgetippt.
Es ist $ f(x,y) = [mm] \frac{x^2y}{x^4+y^2} [/mm] $ für $ (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) $
Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Fr 06.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> Funktion abgetippt.
>
> Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>
> Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
>
> Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
Berechne mal [mm] $f(\wurzel{t},t)$ [/mm] für t>0
FRED
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 06.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> > Hallo Fred,
> >
> > ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> > Funktion abgetippt.
> >
> > Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>
> >
> > Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
> >
> > Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
>
>
> Berechne mal [mm]f(\wurzel{t},t)[/mm] für t>0
>
Ich erhalte $ [mm] f(\wurzel{t}, [/mm] t) = ... = 1 + [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] $
Nun kann ich durch Wahl einer Nullfolge $ [mm] t_n \to [/mm] 0 $ (wie z.B. $ [mm] t_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] )$ zeigen, dass $ [mm] f(\wurzel{t}_n, t_n) [/mm] $ nicht konvergiert. Seh ich das richtig?
> FRED
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
>
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo,
>
> > > Hallo Fred,
> > >
> > > ich hab zu später Stunde versehentlich die falsche
> > > Funktion abgetippt.
> > >
> > > Es ist [mm]f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Entschuldigt die Umstände. Das war ungeschickt.
> > >
> > > Würde mich über weitere Tipps sehr freuen.
> >
> >
> > Berechne mal [mm]f(\wurzel{t},t)[/mm] für t>0
> >
>
> Ich erhalte [mm]f(\wurzel{t}, t) = ... = 1 + \frac{1}{t^2}[/mm]
Nana, wie hast du denn gerechnet?
Das ergibt doch [mm] $\frac{(\sqrt{t})^2\cdot{}t}{(\sqrt{t})^4+t^2}=\frac{t^2}{2t^2}=\frac{1}{2} [/mm] \ [mm] \longrightarrow \frac{1}{2}\neq [/mm] 0=f((0,0))$ für [mm] $t\to [/mm] 0$
>
> Nun kann ich durch Wahl einer Nullfolge [mm]t_n \to 0[/mm] (wie z.B.
> [mm]t_n = \frac{1}{n} )[/mm] zeigen, dass [mm]f(\wurzel{t}_n, t_n)[/mm] nicht
> konvergiert. Seh ich das richtig?
Ja, Freds Wahl entspricht doch genau der Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Die strebt gegen $(0,0)$, aber [mm] $f((x_n,y_n))$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{2}\neq [/mm] 0=f((0,0))$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> > FRED
> > >
> > > Grüße
> > > ChopSuey
> >
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Fr 06.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
danke für die Hinweise.
War beim rechnen eben wohl ein wenig duselig. ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Ihr habt mir sehr geholfen.
Beste Grüße
ChopSuey
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