f(x)>\epsilon < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Vor.: f:X [mm] \to \IR [/mm] stetig, X sei kompakter, topologischer Raum. f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
Beh.: Es ex. ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass f(x) > [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X. |
Guten Abend!
Zu obenstehender Aufgabe fehlt mir jegliche Idee... Das einzige, was mir vielleicht möglich erscheint ist folgendes: Da X kompakt ist, ist auch f(X) kompakt, d.h. es existiert ein Minimum [mm] f(x_0)=a [/mm] <= f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X. Kann ich damit eventuell etwas anfangen?
Ich würde mich über einen Hinweis oder eine Anregung sehr freuen...
Lieben Dank,
Takeela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vor.: f:X [mm]\to \IR[/mm] stetig, X sei kompakter, topologischer
> Raum. f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X.
> Beh.: Es ex. ein [mm]\epsilon[/mm] > 0, sodass f(x) > [mm]\epsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X.
> Guten Abend!
>
> Zu obenstehender Aufgabe fehlt mir jegliche Idee... Das
> einzige, was mir vielleicht möglich erscheint ist
> folgendes: Da X kompakt ist, ist auch f(X) kompakt, d.h.
es existiert ein Minimum ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit [mm]f(x_0)\blue{=:}a[/mm] [mm] $\le$ [/mm] f(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X.
(Oder anders formulierrt: [mm] $f\,$ [/mm] nimmt auf $X$ sein Minimum an!)
> Kann ich damit eventuell etwas anfangen?
Natürlich, dann ist doch
$$f(x) [mm] \ge f(x_0)=a \;\;\text{ für alle }x \in X\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass wegen [mm] $x_0 \in [/mm] X$ ja [mm] $f(x_0)=a [/mm] > 0$ gelten muss).
Wählst Du nun $0 < [mm] \epsilon [/mm] < a$ (z.B. [mm] $\epsilon=a/2$), [/mm] so bist Du fertig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Takeela |
Klasse! Danke dir für deine schnelle Hilfe, Marcel!
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