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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - f nilpotent & charakt. Polynom
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f nilpotent & charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Do 31.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit $n := [mm] \dim_{k}(V) [/mm] < [mm] \infty$. [/mm] Ein Endomorphismus $f [mm] \in End_{K}(V)$ [/mm] heißt nilpotent, wenn es ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f^{k} [/mm] = 0$ gibt.
Zeigen Sie, dass ein $f [mm] \in End_{K}(V)$ [/mm] genau dann nilpotent ist, wenn [mm] $x_{f} [/mm] = [mm] (-1)^{n}t^{n}$ [/mm] gilt.


Hallo,

ich habe Probleme beim Beweis der Hinrichtung. Die Rückrichtung war ja nicht schwer.

Es gilt ja: [mm] x_{f} [/mm] = [mm] (-1)^{n} t^{n} [/mm] + [mm] \alpha_{n-1}t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{0} [/mm] mit [mm] \alpha_{n-1} [/mm] = [mm] (-1)^{n-1}Spur(f) [/mm] (aber Spur(f) = 0) und [mm] \alpha_{0} [/mm] = det(f) (aber det(f) = 0). Jetzt muss ich noch zeigen, dass die anderen Alphas gleich null sind, aber wie mache ich das? Oder komme ich mit meinem Ansatz nicht wirklich weiter?

Grüsse
Alex

        
Bezug
f nilpotent & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:00 Fr 01.06.2012
Autor: angela.h.b.


> Es sei V ein K-Vektorraum mit n := [mm]dim_{k}(V)[/mm] < [mm]\infty.[/mm] Ein
> Endomorphismus f [mm]\in End_{K}(V)[/mm] heißt nilpotent, wenn es
> ein k [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]f^{k}[/mm] = 0 gibt. Zeigen Sie, dass ein f
> [mm]\in End_{K}(V)[/mm] genau dann nilpotent ist, wenn [mm]x_{f}[/mm] =
> [mm](-1)^{n}t^{n}[/mm] gilt.
>  Hallo,
>  
> ich habe Probleme beim Beweis der Hinrichtung. Die
> Rückrichtung war ja nicht schwer.
>  
> Es gilt ja: [mm]x_{f}[/mm] = [mm](-1)^{n} t^{n}[/mm] + [mm]\alpha_{n-1}t^{n-1}[/mm] +
> ... + [mm]\alpha_{0}[/mm] mit [mm]\alpha_{n-1}[/mm] = [mm](-1)^{n-1}Spur(f)[/mm] (aber
> Spur(f) = 0) und [mm]\alpha_{0}[/mm] = det(f) (aber det(f) = 0).
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass die anderen Alphas gleich
> null sind, aber wie mache ich das? Oder komme ich mit
> meinem Ansatz nicht wirklich weiter?

Hallo,

ob man so weiterkommt, weiß ich nicht.

Ich würd's auf dem Weg übers Minimalpolynom machen, sofern das dran war:
wenn [mm] f^k=0, [/mm] dann weißt Du etwas über das Minimalpolynom.
Weiter teilt das Minimalpolynom das charakteristische, und jeder Linearfaktor des charakteristischen Polynoms ist ja auch einer vom Minimalpolynom.

LG Angela


>  
> Grüsse
>  Alex


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f nilpotent & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:44 Fr 01.06.2012
Autor: fred97

Wenn [mm] f^k=0 [/mm] für ein k ist, so hat f nur den Eigenwert 0.

FRED

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f nilpotent & charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 So 03.06.2012
Autor: Blackburn4717537

Ich habe jetzt vorausgesetzt, dass f einen Eigenvektor x besitzt, und dann daraus gefolgert, dass der Eigenwert [mm] \lambda [/mm] null sein muss, und dieser auch der einzige ist. Aber hier ist schon das Problem: Eigentlich müsste ich doch erstmal zeigen, dass f überhaupt Eigenvektoren besitzt, oder nicht?
Als nächstes würde ich dann eine Fallunterscheidung machen:

1. Fall: Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Hieraus kann man die Behauptung ja direkt schließen, da die Eigenwerte von f ja gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms in K sind und der Grad n sein muss.

2. Fall: Das charakteristische Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren.
Hier weiß ich nicht weiter, wie man die Behauptung beweisen könnte.

Zum Weg über das Minimalpolynom ist mir nichts eingefallen.

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f nilpotent & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 So 03.06.2012
Autor: fred97

Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von f, so ist [mm] \lambda^k [/mm] ein Eigenwert von [mm] f^k=o, [/mm]

also ist [mm] \lambda [/mm] = ??

FRED

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f nilpotent & charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 So 03.06.2012
Autor: Blackburn4717537

Dann ist [mm] \lambda [/mm] = 0. Aber ich setze ja praktisch voraus, dass es Eigenwerte gibt. Das ist das was ich komisch finde. Ich müsste ja erstmal beweisen, dass wenn f nilpotent ist, es auch immer Eigenwerte hat.
Aber ich glaube, ich habe die Lösung.

Also:

Sei k [mm] \in \IN [/mm] minimal, sodass [mm] f^{k} [/mm] = 0 gilt.

Das Spektrum von f ist gleich dem Spektrum von [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] für eine beliebige Basis B von V.

Löse [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] * x = [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \gdw M_{B}^{B}(f)^{k} [/mm] * x = [mm] \lambda^{k} [/mm] * x Also folgt [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \lambda [/mm] ist der einzige Eigenwert von f bzw. [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm]

Insbesondere ist 0 eine Nullstelle vom charakteristischen Polynom P(t) [mm] \in [/mm] K[t].
Es folgt r = mult(P(t), 0) > 0 [mm] \gdw [/mm] (t - [mm] 0)^{r} [/mm] | P(t)

[mm] \Rightarrow [/mm] P(t) = p * [mm] t^{r} [/mm] für p [mm] \in [/mm] K[t] mit deg(p) = n-r, da deg(P(t)) = n und p ist von der Form p = [mm] \summe_{i=0}^{n-r} a_{i} [/mm] * [mm] t^{i} [/mm]

Aber p(0) [mm] \not= [/mm] 0 und p ist von der obigen Form, d.h. p muss ein konstantes Polynom, aber ungleich dem Nullpolynom, also p = q für q [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0}

Mithin gilt, dass deg(p) = 0 ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] r = n.

Jedes charakteristische Polynom P(t) ist von der Form P(t) = [mm] \alpha_{n} [/mm] * [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \alpha_{n-1} [/mm] * [mm] t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{0} [/mm] und insbesondere ist [mm] \alpha_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] p = q = [mm] (-1)^{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] P(t) = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] t^{n} [/mm]

Stimmt das so?

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f nilpotent & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 Mo 04.06.2012
Autor: fred97


> Dann ist [mm]\lambda[/mm] = 0. Aber ich setze ja praktisch voraus,
> dass es Eigenwerte gibt.

f hat Eigenwerte !

Sei k $ [mm] \in \IN [/mm] $ minimal, sodass $ [mm] f^{k} [/mm] $ = 0 gilt.

Ist k=1, so ist f(x)=0 für jedes x [mm] \in [/mm] V. Also ist 0 Eigenwert.

Ist k>1, so ist $ [mm] f^{k-1} [/mm] $ [mm] \ne [/mm]  0 . Ist also x [mm] \in [/mm] V so, dass $ [mm] y:=f^{k-1}(x) [/mm] $ [mm] \ne [/mm]  0, so ist f(y)=0. Also ist 0 Eigenwert.

FRED

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f nilpotent & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:08 Mo 04.06.2012
Autor: SEcki


> 2. Fall: Das charakteristische Polynom zerfällt nicht in
> Linearfaktoren.
>  Hier weiß ich nicht weiter, wie man die Behauptung
> beweisen könnte.

Falls der Körper algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt es immer in Linearfaktoren. Dann kannst du beweisen, dass es die spoezielle Form hat.

Falls der Körper das nicht ist, dann gehe zu einem algebraischen Abschluss über und man muss sich überlegen, dass die Berechnung des charakteristischen Polynoms im Grundkörper bleibt, und daher die Aussage erhalten bleibt.

SEcki


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