f^{n} = 0 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung mit [mm] f^{n} [/mm] = f [mm] \circ ...\circ [/mm] f = 0für ein n [mm] \in \IN [/mm]
Zeigen sie, dass dim V [mm] \le [/mm] n * dim ker f gilt. |
Ich weiß, dass ich diese Aufgabe mit vollständiger Induktion lösuen muss und f auf den ker [mm] f^{n} [/mm] einschränken muss.
Ich bekomme es aber einfach nicht hin. Kann mir eventuell jemand den Induktionsanfang zeigen oder mir einen weitern Tipp geben.
Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 24.11.2013 | | Autor: | hippias |
Wenn Du das mit Induktion zeigen moechtest, koenntest Du so aehnlich vorgehen: Sei [mm] $U_{k}:= [/mm] Kern [mm] f^{k}$, $k=0,\ldots, [/mm] n$. Beachte [mm] $U_{0}= [/mm] 0$, [mm] $U_{k}
Schraenkst Du nun $f$ auf [mm] $U_{n-1}$ [/mm] ein, so kannst Du die Induktionsvoraussetzung anwenden, um [mm] $\dim U_{n-1}\leq (n-1)\dim [/mm] Kern [mm] f_{\vert_{U_{n-1}}}$ [/mm] zu erhalten.
Mache Dir nun klar, dass $Kern [mm] f_{\vert_{U_{n-1}}}= [/mm] Kern f$ ist, und dass Du fertig bist, wenn Du [mm] $\dim [/mm] V- [mm] \dim [/mm] Kern [mm] f\leq \dim U_{n-1}$ [/mm] nachweisen kannst. Das letztere kannst Du beweisen, indem zeigst, dass [mm] $\phi:V/U_{n-1}\to [/mm] Kern f$, [mm] $v+U_{n-1}\mapsto f^{n}(v)$ [/mm] ein injektiver Vektorraumhomomorphismus ist.
Die Details muesstest Du versuchen zu ergaenzen.
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