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| Aufgabe | Seinen I, J abgeschlossene, beschränkte Intervalle. Betrachte zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen,
[mm]f, f_n : I \to J, \limes_{n\rightarrow\infty} ||f_n - f||_{BC(I,\IR)} = 0[/mm]
[mm]g, g_n : J \to \IR, \limes_{n\rightarrow\infty} ||g_n - g||_{BC(I,\IR)} = 0[/mm]
Beweise, dass dann auch die Verkettungen [mm]g_n \circle f_n[/mm] gleichmäßig gegen [mm]g \circle f[/mm] konvergieren. |
Also ich weiß, dass ich am Schluss etwas da stehen haben muss, wie
[mm]||g_n \circ f_n - g \circ f||_{BC(I,\IR)} \le \epsilon[/mm].
[mm]BC(I, \IR)[/mm] soll etwas mit "bounded continuous" zu tun haben. bounded continuous = abgeschlossen und beschränkt?
Ich weiß, dass J abgeschlossenes Intervall => [mm]f \in BC(J, \IR)[/mm]: f ist gleichmäßig stetig.
Kann man da so etwas sagen, weil beide Funktionen gleichmäßig stetig und kovergent gegen 0 sind, ist auch die Hintereinanderausführung gleichmäßig konvergent (gegen 0)?
Mfg,
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Seinen I, J abgeschlossene, beschränkte Intervalle.
> Betrachte zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen,
>
> [mm]f, f_n : I \to J, \limes_{n\rightarrow\infty} ||f_n - f||_{BC(I,\IR)} = 0[/mm]
>
> [mm]g, g_n : J \to \IR, \limes_{n\rightarrow\infty} ||g_n - g||_{BC(\red{I},\IR)} = 0[/mm]
Hier meinst Du sicher [mm] $\|g_n-g\|_{{BC(\blue{J},\IR)}}$.
[/mm]
>
> Beweise, dass dann auch die Verkettungen [mm]g_n \circle f_n[/mm]
> gleichmäßig gegen [mm]g \circle f[/mm] konvergieren.
> Also ich weiß, dass ich am Schluss etwas da stehen haben
> muss, wie
> [mm]||g_n \circ f_n - g \circ f||_{BC(I,\IR)} \le \epsilon[/mm].
>
> [mm]BC(I, \IR)[/mm] soll etwas mit "bounded continuous" zu tun
> haben. bounded continuous = abgeschlossen und beschränkt?
>
> Ich weiß, dass J abgeschlossenes Intervall => [mm]f \in BC(J, \IR)[/mm]:
> f ist gleichmäßig stetig.
>
> Kann man da so etwas sagen, weil beide Funktionen
> gleichmäßig stetig und kovergent gegen 0 sind, ist auch die
> Hintereinanderausführung gleichmäßig konvergent (gegen 0)?
Wie ist denn [mm] $BC(J,\IR)$ [/mm] definiert? Wenn das mit [mm] $\text{bounded=beschränkt}$ [/mm] und [mm] $\text{continuous=stetig}$ [/mm] zu tun hat, schätze ich mal, dass ihr damit [mm] $BC(J,\IR):=\{f: J \to \IR: f \text{ ist stetig und beschränkt auf }J\}$ [/mm] bezeichnet.
Unklar ist mir allerdings, was [mm] $\|.\|_{BC(J,\IR)}$ [/mm] sein soll. Meint ihr damit einfach die Supremumsnorm, die man üblicherweise als [mm] $\|.\|_{\infty,J}$ [/mm] bzw. kürzer [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] notiert, also gilt
[mm] $$\|g\|_{BC(J,\IR)}=\text{sup}\{|g(t)|: t \in J\}?$$
[/mm]
Damit wird die ganze Aufgabe ziemlich banal. Ich nehme mal an, dass [mm] $\|.\|_{...}$ [/mm] die Supremumsnorm meint und schreibe einfach nur noch kurz [mm] $\|.\|$ [/mm] (Edit im Nachhinein: Eigentlich benutze ich die Normnotation gar nicht mehr, sondern arbeite im Folgenden damit, dass [mm] $\|f-f_n\|_{\infty,I}=\|f-f_n\| \to [/mm] 0$ genau dann, wenn für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] existiert, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] I$ und $n [mm] \ge [/mm] N$ dann [mm] $|f(x)-f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ausfällt!):
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Weil [mm] $(g_n)_n$ [/mm] auf $J$ glm. gegen $g$ konvergiert, existiert dann ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle $x [mm] \in [/mm] J$ dann [mm] $|g_n(x)-g(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] folgt.
Weiter gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] I$, dass
[mm] $$|g(f(x))-g_n(f_n(x))| \le |g(f(x))-g(f_n(x))|+|g(f_n(x))-g_n(f_n(x))|\,.$$ [/mm]
Für jedes $x [mm] \in [/mm] I$ und $n [mm] \ge [/mm] N$ ist dann [mm] $|g(f_n(x))-g_n(f_n(x))| [/mm] < [mm] \varepsilon/2\,.$ [/mm] Und den Ausdruck [mm] $|g(f(x))-g(f_n(x))|$ [/mm] bekommst Du, für alle $n [mm] \ge [/mm] N'$ mit einem $N'$, welches unabhängig von $x$ ist, auch kleiner als [mm] $\varepsilon/2\,.$
[/mm]
Denn:
$g$ ist stetig (und beschränkt) auf dem kompakten Intervall $J$, dort also insbesondere glm. stetig. Zu [mm] $\varepsilon/2 [/mm] > 0$ existiert also ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] J$ stets aus $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] dann $|g(y)-g(x)| < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] folgt.
Und weil [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auf $I$ glm. gegen $f$ konvergiert, ist für alle $x [mm] \in [/mm] I$ weiter [mm] $|f(x)-f_n(x)| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N'=N_\varepsilon\,'\,.$
[/mm]
(Vielleicht würde man hier besser [mm] $N'=N_\delta\,\!'$ [/mm] schreiben, da solch ein $N'$ eigentlich durch ein obiges [mm] $\delta [/mm] > 0$ bestimmt wird. Das [mm] $\delta$ [/mm] wurde aber abhg. von [mm] $\varepsilon$ [/mm] angegeben, in diesem Sinne ist [mm] $N'=N_\varepsilon\!\,'$ [/mm] zu verstehen.)
Insgesamt erhälst Du so für alle $x [mm] \in [/mm] I$, dass
[mm] $$|(g\circ f)(x)-(g_n\circ f_n)(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge \text{max}\{N,N'\}\,,$ [/mm] und das wäre es dann auch. Schreibe es für Dich vll. nochmal etwas "sortierter" auf (sofern die obige Norm [mm] $\|.\|_{BC(...)}$ [/mm] auch wirklich die [mm] $\|.\|_\infty$, [/mm] auf dem entspr. Intervall, meint).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
Das mit dem BC ist eben mein Problem, ich finde das einfach in keinem Buch. Das war ein anderer Professor der an diesem Tag die Vorlesung gemacht hatte. Das Thema von dem Tag war normierte Räume und Banachräume.
Ich habe mal den Übungszettel als Anhang, weil das BC so ein bisschen anders geschrieben ist. Das ist die 3. Aufgabe.
Vielen Dank schonmal auf jedenfall. Werde mich jetzt dran setzen und versuchen dein Post zu lesen und verstehen :)
Mfg,
Christoph
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:46 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
> Hallo,
> Das mit dem BC ist eben mein Problem, ich finde das
> einfach in keinem Buch. Das war ein anderer Professor der
> an diesem Tag die Vorlesung gemacht hatte. Das Thema von
> dem Tag war normierte Räume und Banachräume.
>
> Ich habe mal den Übungszettel als Anhang, weil das BC so
> ein bisschen anders geschrieben ist. Das ist die 3.
> Aufgabe.
>
> Vielen Dank schonmal auf jedenfall. Werde mich jetzt dran
> setzen und versuchen dein Post zu lesen und verstehen :)
das scheint mir aber schon so zu sein. Es gilt ja [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm. auf $I$ genau dann, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}\|f_n-f\|_{\infty,I}=0$.
[/mm]
Bei Dir ist nur speziell $I$ ein beschränktes, abgeschlossenes (m.a.W. kompaktes) Intervall, und wenn alle Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] stetig auf $I$ sind, sind alle Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] damit auch, weil stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschr. sind, insbeondere auch beschränkt auf $I$. Ferner folgt aus der glm. Kgz. der auf $I$ stetigen Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ dannn schon, dass auch $f$ stetig auf $I$ ist und damit ist auch $f$, weil diese Funktion dann auf dem Kompaktum $I$ stetig ist, dort auch beschränkt. Also:
Alleine schon [mm] $f_n \in C(I,\IR)=\{f: I \to \IR: f \text{ stetig auf }I\}$ [/mm] liefert, wenn $I$ beschr. und abgeschlossen ist, schon [mm] $f_n \in BC(I,\IR):=\{f: I \to \IR:\; f \text{ stetig und beschr. auf }I\}\,.$
[/mm]
Und dann folgt aus [mm] $\underbrace{f_n}_{\in C(I,\IR)} \to [/mm] f$ glm. auf $I$ insbesondere auch $f [mm] \in C(I,\IR)$ [/mm] und damit auch, wenn $I$ beschr. und abgeschl. ist, damit dann auch $f [mm] \in BC(I,\IR)\,.$
[/mm]
(Es gilt also hier [mm] $C(I,\IR) \subset BC(I,\IR)$, [/mm] wenn $I$ kompakt ist, und [mm] $BC(I,\IR) \subset C(I,\IR)$ [/mm] gilt eh immer. Für kompaktes $I$ ist also [mm] $C(I,\IR)=BC(I,\IR)\,.$)
[/mm]
Ferner ist [mm] $BC(I,\IR)$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $B(I,\IR):=\{f: I \to \IR: f \text{ beschr.}\}$, [/mm] wobei bekannt sein sollte, dass [mm] $B(I,\IR)$ [/mm] (mit der Definition der Addition $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ ($x [mm] \in [/mm] I$) für alle $f,g [mm] \in B(I,\IR)$ [/mm] und der Skalarmultiplikation [mm] $(\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x)$ ($x [mm] \in [/mm] I$) für alle $f [mm] \in B(I,\IR)$) [/mm] ein Vektorraum ist.
Deswegen passt das oben, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Funktion [mm] $f-f_n \in BC(I,\IR)$ [/mm] liegt, so dass auch die Notation [mm] $\|f-f_n\|_{BC(I,\IR)}$ [/mm] hier generell Sinn macht, wenn [mm] $\|.\|_{BC(I,\IR)}$ [/mm] irgendeine Norm auf [mm] $BC(I,\IR)$ [/mm] bezeichnen würde. Aber auch, dass oben steht, dass [mm] $f_n$ [/mm] glm. auf $I$ gegen $f$ konvergieren soll und dabei zusätzlich auch [mm] $\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{BC(I,\IR)}=0$ [/mm] steht, deutet darauf hin, dass mit [mm] $\|.\|_{BC(I,\IR)}$ [/mm] die Supremumsnorm (auf $I$) gemeint ist (analoges mit $J$ und [mm] $BC(J,\IR)$).
[/mm]
P.S.:
In Funktionalanalysis, Werner, findest Du auch [mm] $C^b(T)=\{f: T \to \IK: f \text{ ist stetig und beschränkt}\}$ [/mm] (wobei $T$ ein metrischer Raum ist, und [mm] $\IK$ [/mm] für [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] steht). Und dieser Raum ist mit der Supremumsnorm ein Banachraum. Auch alleine das spricht schon dafür, dass [mm] $BC(I,\IR)$ [/mm] nichts anderes als [mm] $C^b(I)$ [/mm] meint (mit [mm] $\IK=\IR$), [/mm] und dass [mm] $BC(I,\IR)$ [/mm] mit der Supremumsnorm versehen werden soll.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:14 Fr 16.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > [mm]BC(I, \IR)[/mm] soll etwas mit "bounded continuous" zu tun
> > haben. bounded continuous = abgeschlossen und beschränkt?
> >
> > Ich weiß, dass J abgeschlossenes Intervall => [mm]f \in BC(J, \IR)[/mm]:
> > f ist gleichmäßig stetig.
> >
> > Kann man da so etwas sagen, weil beide Funktionen
> > gleichmäßig stetig und kovergent gegen 0 sind, ist auch die
> > Hintereinanderausführung gleichmäßig konvergent (gegen 0)?
>
> Wie ist denn [mm]BC(J,\IR)[/mm] definiert? Wenn das mit
> [mm]\text{bounded=beschränkt}[/mm] und [mm]\text{continuous=stetig}[/mm] zu
> tun hat, schätze ich mal, dass ihr damit [mm]BC(J,\IR):=\{f: J \to \IR: f \text{ ist stetig und beschränkt auf }J\}[/mm]
> bezeichnet.
Das wuerde ich auch vermuten.
> Unklar ist mir allerdings, was [mm]\|.\|_{BC(J,\IR)}[/mm] sein soll.
Das soll wohl die Norm des normierten Raumes $BC(J, [mm] \IR)$ [/mm] sein. Und fuer diese gibt es eigentlich nur eine kanonische Wahl, und zwar die Supremumsnorm.
> Meint ihr damit einfach die Supremumsnorm, die man
> übicherweise als [mm]\|.\|_{\infty,J}[/mm] bzw. kürzer [mm]\|.\|_\infty[/mm]
Da gibt es viele verschiedene Notationen 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:36 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> > > [mm]BC(I, \IR)[/mm] soll etwas mit "bounded continuous" zu tun
> > > haben. bounded continuous = abgeschlossen und beschränkt?
> > >
> > > Ich weiß, dass J abgeschlossenes Intervall => [mm]f \in BC(J, \IR)[/mm]:
> > > f ist gleichmäßig stetig.
> > >
> > > Kann man da so etwas sagen, weil beide Funktionen
> > > gleichmäßig stetig und kovergent gegen 0 sind, ist auch die
> > > Hintereinanderausführung gleichmäßig konvergent (gegen 0)?
> >
> > Wie ist denn [mm]BC(J,\IR)[/mm] definiert? Wenn das mit
> > [mm]\text{bounded=beschränkt}[/mm] und [mm]\text{continuous=stetig}[/mm] zu
> > tun hat, schätze ich mal, dass ihr damit [mm]BC(J,\IR):=\{f: J \to \IR: f \text{ ist stetig und beschränkt auf }J\}[/mm]
> > bezeichnet.
>
> Das wuerde ich auch vermuten.
>
> > Unklar ist mir allerdings, was [mm]\|.\|_{BC(J,\IR)}[/mm] sein soll.
>
> Das soll wohl die Norm des normierten Raumes [mm]BC(J, \IR)[/mm]
> sein. Und fuer diese gibt es eigentlich nur eine kanonische
> Wahl, und zwar die Supremumsnorm.
ich habe dazu auch schon mehrere Indizien aufgezählt. Ich bin mir eigentlich zu $99,99999$% sicher. Bald mache ich da noch ein Komma Periode 9 draus
> > Meint ihr damit einfach die Supremumsnorm, die man
> > übicherweise als [mm]\|.\|_{\infty,J}[/mm] bzw. kürzer [mm]\|.\|_\infty[/mm]
>
> Da gibt es viele verschiedene Notationen
Das mag sein. Sagen wir, das sind die mir gängigen Notationen. Jedenfalls schreibt man, m.E., gerne [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] oder (z.B. hier) [mm] $\|.\|_{\infty,I}$ [/mm] bzw., wenn hier der zugrundeliegende Raum eh immer klar ist, so schreibt man meist auch einfach nur [mm] $\|.\|$, [/mm] um sich lästige Indexanhängsel zu ersparen (die man eh meist an der ein oder anderen Stelle vergisst)
Ich selber würde den obigen Beweis also einfach mit [mm] $\|.\|$ [/mm] schreiben und vorher ergänzen, dass aus dem Zusammenhang klar ist, ob [mm] $\|.\|$ [/mm] dann [mm] $\|.\|_{\infty,I}$ [/mm] oder [mm] $\|.\|_{\infty,J}$ [/mm] meint.
Gruß,
Marcel
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