f mit einer Stetigkeitsstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 05.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Geben Sie eine Funktion auf [mm] \IR [/mm] an, die nur eine Stetigkeitsstelle hat. Betrachten Sie hierzu f, wobei
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases} [/mm] |
Hallo Leute,
komme bei meiner Lösung nicht weiter und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
Lösung:
Gesucht ist eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} g(x), & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ h(x), & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases} [/mm] mit g(x) und h(x) stetig.
Die Funktion f ist genau dann stetig, wenn [mm] g(x_{0})=h(x_{0}).
[/mm]
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} g(x)=x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ h(x)=-x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases} [/mm] mit g(x) und h(x) stetig.
Die einzige Stetigkeitsstelle ist [mm] x_{0}=0 [/mm] und 0 [mm] \in \IQ.
[/mm]
1. Fall Stetigkeitsstelle ist [mm] x_{0}=0 [/mm] und 0 [mm] \in \IQ.
[/mm]
Dann ist x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] (wegen [mm] \IQ [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR [/mm] )
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}^{-}} f(x)=\limes_{x\rightarrow\x_{0}^{-}} [/mm] -x [mm] =0=f(x_{0})=0=\limes_{x\rightarrow\x_{0}^{+}}-x=\limes_{x\rightarrow\x_{0}^{+}} [/mm] f(x)
(War mir nichts sicher, wie ich es aufschreiben soll....)
2. Fall: Stetigkeitsstelle ist [mm] x_{0}\not=0 [/mm] beliebig, aber fest. [mm] (\varepsilon [/mm] > 0)
Für [mm] \delta [/mm] > 0 ist [mm] U_{\varepsilon}(x_{0}) [/mm] eine Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] und wegen [mm] \IQ [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR [/mm] exsistiert
1. ein [mm] x_{1} \in \IQ [/mm] falls [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
2. ein [mm] x_{1} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] falls [mm] x_{0} \in \IQ
[/mm]
Für [mm] x_{0},x_{1} [/mm] gilt:
[mm] |x_{0}-x_{1}|<\delta
[/mm]
aber [mm] |f(x_{0})-f(x_{1})|>\varepsilon [/mm] (hier habe ich Probleme das vernünftig zu zeigen...)
d.h. es gibt nur eine Stetigkeitsstelle.
Bitte um Antwort!
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
deine ideeist richtig, aber fuer die Unstetigkeit mach die Fallunterscheidung: [mm] 00 [/mm] gibt es ein [mm] 0
mit [mm] |x_0-x_1|,\delta [/mm] und [mm] |f(x_0)-f(x_1)|=|x_0+x_1|>x_0>\epsilon
[/mm]
entsprechend fuer [mm] x_0,0 [/mm] und [mm] x_0 [/mm] reell
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 05.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Leduart,
das hier kann ich nicht genau entziffern...
> entsprechend fuer [mm]x_0,0[/mm] und [mm]x_0[/mm] reell
Kannst du bitte nachbessern??
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hat sich erledigt, danke Leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Geben Sie eine Funktion auf [mm]\IR[/mm] an, die nur eine
> Stetigkeitsstelle hat. Betrachten Sie hierzu f, wobei
>
> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
das ist die sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Indikatorfunktion (klick!) von [mm] $\IQ$ [/mm] bzgl. [mm] $\IR$ [/mm]
(im Link also [mm] $T=\IQ \subseteq \IR=X$), [/mm] man schreibt oft auch [mm] $1_{\IQ}$ [/mm] (d.h. es gilt
dann [mm] $1_{\IQ}=f$ [/mm] mit obiger Funktion [mm] $f\,$ [/mm] - okay, strenggenommen
müßte man bei obigem [mm] $f\,$ [/mm] den Zielbereich dann auch noch zu [mm] $\{0,1\}$
[/mm]
abändern, wenn man Indikatorfunktionen genauso wie im Link bei Wiki
auffasst...).
Jetzt mal, ohne groß kompliziert zu weden: Betrachte mal $x [mm] \mapsto x*1_{\IQ}(x)$ [/mm]
als Funktion [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Sa 05.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
> > f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> das ist die sogenannte
> Indikatorfunktion (klick!)
> von [mm]\IQ[/mm] bzgl. [mm]\IR[/mm]
> (im Link also [mm]T=\IQ \subseteq \IR=X[/mm]), man schreibt oft auch
> [mm]1_{\IQ}[/mm] (d.h. es gilt
> dann [mm]1_{\IQ}=f[/mm] mit obiger Funktion [mm]f\,[/mm]).
>
> Jetzt mal, ohne groß kompliziert zu weden: Betrachte mal [mm]x \mapsto x*1_{\IQ}(x)[/mm]
> als Funktion [mm]\IR \to \IR\,.[/mm]
Also, die Funktion kenne ich nur als Dirichlet-Funktion...
Der Link überfordert mich und mein Wissen...
Aber ich denke ich weiß was du meinst...
Betrachte ich die Funktion, x [mm] \mapsto x*1_{\IQ}(x) [/mm] als Funktion [mm] \IR \to \IR\,dann [/mm] ist es die Winkelhalbierende ... oder ich deute die Schreibweise falsch...
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
>
> > > f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > das ist die sogenannte
> >
> Indikatorfunktion (klick!)
> > von [mm]\IQ[/mm] bzgl. [mm]\IR[/mm]
> > (im Link also [mm]T=\IQ \subseteq \IR=X[/mm]), man schreibt oft auch
> > [mm]1_{\IQ}[/mm] (d.h. es gilt
> > dann [mm]1_{\IQ}=f[/mm] mit obiger Funktion [mm]f\,[/mm]).
> >
> > Jetzt mal, ohne groß kompliziert zu weden: Betrachte mal [mm]x \mapsto x*1_{\IQ}(x)[/mm]
> > als Funktion [mm]\IR \to \IR\,.[/mm]
>
> Also, die Funktion kenne ich nur als Dirichlet-Funktion...
das ist auch nur eine spezielle Indikatorfunktion, nämlich die von mir
genannte (kannst Du auch bei Wiki nachlesen); auf den Zielbereich
nehmen wir jetzt bei diesen Bezeichnungen mal (fast) keine Rücksicht.
(Nur insofern nehmen wir auf den Zielbereich Rücksicht, als dass ein jeder
Zielbereich von sogenannten Indikatorfunktionen mindestens [mm] $\{0,1\}$ [/mm] enthalten
solle!)
> Der Link überfordert mich und mein Wissen...
Was ist daran schwer? Ich meine: Für $T [mm] \subseteq [/mm] X$ ist
[mm] $$1_T(r)=1$$
[/mm]
genau dann, wenn $r [mm] \in T\,,$ [/mm] und es ist
[mm] $$1_T(r)=0$$
[/mm]
genau dann, wenn $r [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus T\,$ [/mm] (kurz: $r [mm] \notin [/mm] T$).
So gilt etwa für [mm] $1_{[-2,1) \cup (2,\infty)}$ [/mm] bspw.
[mm] $$1_{[-2,1) \cup (2,\infty)}(-10)=0\,,$$
[/mm]
weil $-10 [mm] \notin [/mm] [-2,1) [mm] \cup (2,\infty)\,,$
[/mm]
und es ist
[mm] $$1_{[-2,1) \cup (2,\infty)}(20233)=1\,,$$
[/mm]
weil $20233 [mm] \in [/mm] [-2,1) [mm] \cup (2,\infty)\,.$
[/mm]
Weiterhin gilt ja $1,5 [mm] \notin [/mm] [-2,1) [mm] \cup (2,\infty)\,,$ [/mm] was ist also
[mm] $$1_{[-2,1) \cup (2,\infty)}(1,5)\;\text{ ?}$$
[/mm]
Grob gesagt: [mm] $1_T(r)$ [/mm] sagt Dir, ob $r [mm] \in [/mm] T$ gilt (falls ja, dann gilt [mm] $1_T(r)=1\,,$
[/mm]
und falls nein, dann gilt [mm] $1_T(r)=0$). [/mm] Und ich denke schon, dass Du mit der
Mengenlehre genug Erfahrung hast. Also kompliziert ist das nicht. 
Ganz einfach: Wenn wir [mm] $1=\,$wahr [/mm] und [mm] $0=\,$falsch [/mm] interpretieren, so
liefert Dir
[mm] $$1_T(r)\$$
[/mm]
($T [mm] \subseteq [/mm] X$) die Antwort bzgl. der Frage: Gilt - für $r [mm] \in [/mm] X$ - nun $r [mm] \in [/mm] T$?
Denn:
Falls $r [mm] \in [/mm] T$ gilt, so sagt: [mm] $1_T(r)=1$ [/mm] ja gerade: "Die Aussage $r [mm] \in [/mm] T$ ist wahr."
Falls $r [mm] \notin [/mm] T$ gilt, so sagt: [mm] $1_T(r)=0$ [/mm] ja gerade: "Die Aussage $r [mm] \in [/mm] T$ ist falsch."
> Aber ich denke ich weiß was du meinst...
> Betrachte ich die Funktion, x [mm]\mapsto x*1_{\IQ}(x)[/mm] als
> Funktion [mm]\IR \to \IR\,[/mm] dann ist es die Winkelhalbierende ...
> oder ich deute die Schreibweise falsch...
Jein: Die Funktion "sieht halt teilweise so aus", es ist aber nicht die
Winkelhalbierende:
Betrachten wir mal $x [mm] \mapsto g(x):=1_{\IQ}(x)*x$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm]
Dann gilt doch [mm] $g(x)=x\,$ [/mm] genau dann, wenn $x [mm] \in \IQ\,$ [/mm] und es gilt
$g(x)=0$ genau dann, wenn $x [mm] \in \IR \setminus \IQ\,.$ [/mm]
Den Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] zu zeichnen wäre etwas schwer: Sowohl [mm] $\IQ$ [/mm] als
auch [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] liegen dicht in [mm] $\IR$ [/mm] - man würde also eigentlich
"zwei Geraden" sehen: Die [mm] $x\,$-Achse [/mm] und die Winkelhalbierende (im
[mm] $+45\,$°-Winkel [/mm] zur [mm] $x\,$-Achse). [/mm] Aber es ist halt nicht wirklich die
vollständige [mm] $x\,$-Achse [/mm] und die vollständige Winkelhalbierende (wie
sollte [mm] $g\,$ [/mm] sonst auch eine Funktion sein?) - nur "sichtbar" wäre das
für uns nicht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
okay, jetzt ist der Groschen doch gefallen und ich kann deine Erläuterung folgen ...
Du hast ja keine Vorstellung davon, wie erleichtert ich jetzt bin ...
Mia
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