f*g integrierbar? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 28.05.2008 | | Autor: | toefte |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege folgende Aussagen:
(i) Sei (R,A, μ) ein Massraum und f, g : R [mm] \to [/mm] R μ-integrierbare Funktionen. Dann
ist auch f ·g μ-integrierbar.
(ii) Sei D [mm] \subset R^d [/mm] Lebesgue-messbar mit [mm] \lambda^d(D) [/mm] > 0, und seien f, g : D [mm] \to [/mm] R [mm] \lambda^d [/mm] -integrierbare
Funktionen. Stimmen f und g auf einer dichten Teilmenge von D
überein, so sind ihre Integrale gleich. |
Hallo,
ich komm bei der Aufgabe nicht so richtig weiter. Die Behautpung von i) hab ich bislang nirgens gefunden, gehe also erstmal davon aus, dass sie falsch ist. Aber ein Gegenbeispiel faellt mir nicht ein. Das einzige was mir einfaellt ist, f und g so zu wahlen das f*g nicht messbar ist. Wuerde das klappen?
ii)
hier hab ich D=[0,1] und f(x)=1 und [mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}
[/mm]
Die beiden Funtkionen stimmen auf den rationalen x von [0,1] ueberein, also auf einer dichten Teilmenge von [0,1], aber [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] =1 und [mm] \integral_{}^{}{g(x) dx} [/mm] =0 . Richtig so?
Gruss toefte
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Hallo toefte,
mit erstens liegst du völlig richtig, mir fällt spontan nur ebenfalls kein Gegenbeispiel ein (nur eine ![[]](/images/popup.gif) Quelle (Seite2, ganz oben), wo du es dir bestätigen kannst). Wenn bei deiner Idee f und g µ-integrierbar sind und f*g nichtmal messbar, sollte es passen.
Den zweiten Aufgabenteil kannst du genau so hinschreiben.
Gruß,
Gono.
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