f-invariant bzgl. Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 08.01.2006 | | Autor: | gsk |
| Aufgabe | | Es seien [mm] f,g: V \rightarrow V [/mm] lineare Selbstabbildung des Vektorraums V. Zeige: Wenn [mm]g \circ f = f \circ g[/mm], dann sind die Unterräume [mm] g(V) \le V [/mm] und [mm] kern(g) \le V [/mm] f-invariant. |
Im Prinzip verstehe ich die ganze Aufgabe nicht.
f-invariant bedeutet doch, dass das Bild von f ein Unterraum von V ist, oder? Das ist doch aber gegeben, weil f eine Abbildung von V auf V ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 08.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Es sei [mm] $f:V\to [/mm] V$ und [mm] $U\subset [/mm] V$ Unterraum von $V$. Dann heißt $U$ $f$-invariant, wenn [mm] $f(U)\subseteq [/mm] U$ (ich bin mir nicht ganz sicher, es kann auch sein, dass $f(U)=U$ gelten muss).
Du musst also zeigen:
Ist [mm] $v\in [/mm] Kern(g)$, dann ist auch [mm] $f(v)\in [/mm] Kern(g)$. Wie kannst du das Prüfen? Klar, du wendest einfach $g$ auf $f(v)$ an und versuchst unter Verwendung von [mm] $f\times g=g\times [/mm] f$ zu zeigen, dass $g(f(v))=0$ gilt (nun ist schon fast alles gesagt).
Die Invarianz von $g(V)=bild(g)$ zeigt man ebenso leicht. Dazu wähle [mm] $v=g(v')\in [/mm] Bild(g)$. Du musst nun zeigen, dass auch [mm] $f(v)\in [/mm] bild(g)$ gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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