f-invar. UR & charakt. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in End_{K}(V). [/mm] Ein Unterraum U [mm] \subseteq [/mm] V heißt f-invariant, falls f(U) [mm] \subseteq [/mm] U. In dieser Situation induziert f die beiden Abbildungen
[mm] f_{U} [/mm] : U ----> U; u -----> f(u)
[mm] f_{V/U} [/mm] : V/U ----> V/U; [v] -----> [f(v)].
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein f-invarianter Unterraum. Dann gilt: [mm] X_{A} [/mm] = [mm] X_{f_{U}} [/mm] * [mm] X_{f_{V/U}}.
[/mm]
Anmerkung: [mm] X_{A} [/mm] ist das charakteristische Polynom und die anderen entsprechend.
b) Es sei V = [mm] \oplus V_{i} [/mm] von i bis r mit f-invarianten Unterräumen [mm] V_{i} \subseteq [/mm] V. Dann gilt: [mm] X_{f} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{r} X_{f_{V_{i}}}. [/mm] |
Hallo,
hat jemand einen Tipp für mich für Teil a) ? Ich habe mir schonmal die charakteristischen Polynome aufgeschrieben. Das sind ja einfach nur die Deteminanten von A - [mm] t*E_{n} [/mm] , aber irgendwie bringt das nicht so viel...
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hi,
schnapp dir ne Basis B [mm]v_1,v_2,\ldots,v_k,\ldots,v_n[/mm] von V, sodass [mm]v_1,\ldots,v_k[/mm] eine Basis von U ist.
Wie sieht die Darstellungsmatrix von deinem f aus?
Ich hatte nie die Schreibweise, ich glaube die Bezeichnung der Darstellungsmatrix ist dann [mm]A_B^B(f)[/mm].
Frage wie sieht [mm]A_B^B(f)[/mm] aus?
Tipp: Blockmatrizen
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Hi,
danke, ich hab die Aufgabe gelöst.
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