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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - f-invar. UR & charakt. Polynom
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f-invar. UR & charakt. Polynom: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Di 22.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f [mm] \in End_{K}(V). [/mm] Ein Unterraum U [mm] \subseteq [/mm] V heißt f-invariant, falls f(U) [mm] \subseteq [/mm] U. In dieser Situation induziert f die beiden Abbildungen

[mm] f_{U} [/mm] : U ----> U; u -----> f(u)

[mm] f_{V/U} [/mm] : V/U ----> V/U; [v] -----> [f(v)].

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein f-invarianter Unterraum. Dann gilt: [mm] X_{A} [/mm] = [mm] X_{f_{U}} [/mm] * [mm] X_{f_{V/U}}. [/mm]

Anmerkung: [mm] X_{A} [/mm] ist das charakteristische Polynom und die anderen entsprechend.

b) Es sei V = [mm] \oplus V_{i} [/mm] von i bis r mit f-invarianten Unterräumen [mm] V_{i} \subseteq [/mm] V. Dann gilt: [mm] X_{f} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{r} X_{f_{V_{i}}}. [/mm]

Hallo,

hat jemand einen Tipp für mich für Teil a) ? Ich habe mir schonmal die charakteristischen Polynome aufgeschrieben. Das sind ja einfach nur die Deteminanten von A - [mm] t*E_{n} [/mm] , aber irgendwie bringt das nicht so viel...



        
Bezug
f-invar. UR & charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Di 22.05.2012
Autor: wieschoo

hi,

schnapp dir ne Basis B [mm]v_1,v_2,\ldots,v_k,\ldots,v_n[/mm] von V, sodass [mm]v_1,\ldots,v_k[/mm] eine Basis von U ist.

Wie sieht die Darstellungsmatrix von deinem f aus?
Ich hatte nie die Schreibweise, ich glaube die Bezeichnung der Darstellungsmatrix ist dann [mm]A_B^B(f)[/mm].

Frage wie sieht [mm]A_B^B(f)[/mm] aus?
Tipp: Blockmatrizen

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Bezug
f-invar. UR & charakt. Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Do 24.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Hi,

danke, ich hab die Aufgabe gelöst.

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