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| Aufgabe | du hast einen kreis mit dem radius r.
wenn du den kreissektor zusammenrollst entsteht ein kegel.
bei welchem MITTELPUNKTSWINKEL /alpha entsteht ein kegel mit dem maximalen volumen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo an alle,
da ich sowieso schwierigkeiten mit mathe habe, fällt mir auch diese aufgabe sehr schwer.
ich habe mal angefangen, dieses per experiment auszuprobieren, weit gekommen bin ich aber leider nicht.
zudem weiss ich überhaupt nicht, welche bedingungen ich benutzen soll, und nach was er mich überhaupt fragt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
naja, ich hoffe, dass mir doch eienr helfen kann.
mit freundlichem gruß sandra, und danke natürlich schon im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Sandra. Die Aufgabe sagt uns, dass wir r kennen, also können wir r erstmal als bekannte Zahl hinnehmen, die wir in unserer Zielfunktion brauchen.
Erstmal müssen wir die Hauptbedingung finden.
[mm] V(r_{Ke},h)=\bruch{1}{3}\pi r_{Ke}²h, [/mm] da V maximal werden soll.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(das hellblaue ist [mm] r_{Ke}=der [/mm] Radius vom Kegel)
Weiterhin gilt: (siehe Skizze)
[mm] r²=h²+r_{Ke}² \gdw r²-h²=r_{Ke}² [/mm] (Nebenbedingung)
Nun hätten wir nur noch eine unbekannte in der Volumenformel, da wir r ja als bekannt behandeln.
Dann würde die Zielfunktion lauten:
[mm] V(h)=\bruch{1}{3}\pi(r²-h²)h
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi}{3}r²h-\bruch{\pi}{3}h³
[/mm]
[mm] V'(h)=\bruch{\pi}{3}r²-\pi [/mm] h²
Diese muss ma ja jetzt 0 setzen und nach einiger Umformerei solltest du auf [mm] h=\wurzel{\bruch{1}{3}}r [/mm] kommen.
Du müsstest dann prüfen, ob es sich dann wirklich um ein Maximum handelt (also in V''(h) einsetzen).
(es handelt sich um eins, aber du solltest das trotzdem nochmal überprüfen ;))
Nunja, jetzt kennst du die eine größe, für die das Volumen des Kegels maximal wird. Die andere erhälst du, wenn du h=... in die Nebenbedingung einsetzt.
[mm] r²-h²=r_{Ke}² \Rightarrow r²-(\wurzel{\bruch{1}{3}}r)²=r_{Ke}²
[/mm]
[mm] r²-\bruch{1}{3}r²=r_{Ke}²
[/mm]
[mm] \wurzel{r²-\bruch{1}{3}r²}=r_{Ke}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{2}{3}r²}=r_{Ke}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}r=r_{Ke}
[/mm]
Damit sind wir shcon fast am Ende. Aber es geht ja hier um [mm] \alpha [/mm] und nicht um Höhe und Radius das Kegels.
Es gibt die Formel:
[mm] \bruch{\alpha}{360°}=\bruch{b}{u}, [/mm] wobei u der Umfang des Kreises ist und b die Länge des Kreisbogens vom Kreissektor.
[mm] u=2\pi [/mm] r
Und nun muss man wissen, dass b ja der Umfang von der Grundseite des Kegels ist!
Also gilt hier:
[mm] b=2\pi r_{Ke}
[/mm]
Das beides eingesetzt in die Formel bringt also:
[mm] \bruch{\alpha}{360°}=\bruch{2\pi r_{Ke}}{2\pi r}
[/mm]
Das [mm] 2\pi [/mm] kürzt sich weg und übrig bleibt:
[mm] \bruch{\alpha}{360°}=\bruch{r_{Ke}}{r} [/mm]
[mm] \gdw \alpha=360°\bruch{r_{Ke}}{r}
[/mm]
Außerdem haben wir vorher gezeigt: [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}r=r_{Ke}
[/mm]
Das eingesetzt ergibt widerum:
[mm] \alpha=360°\bruch{\wurzel{\bruch{2}{3}}r}{r}.
[/mm]
r kürzt sich weg.
[mm] \alpha=360°\wurzel{\bruch{2}{3}}\approx [/mm] 293,94°
Wenn es noch wo Fragen gibt dann stell sie ruhig ;) ich musste auch zuerst etwas mit den ganzen Ansätzen kämpfen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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hallo, erstens wirklich vielen dank für die große mühe...:) DANKE
ne frage habe ich zu der ableitung von dem volumen.
man muss ja die ableitung bilden, um das maxima rauszunekommen.!?
jedoch kann ich es nicht idendifizieren, und habe auch schwierigkeiten, die bildung der ableitung nachzuvollziehen.
eigentlich ist pi doch eine bestimmte zahl?
na ja, wäre sehr sehr n ett, wenn du erklären könntest, wie du auf die ableitung von
1/3pi * r² - pi/3 * h³
danke
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Hallo hindorfconan,
Meinst Du die Ableitung von [mm]V(h)[/mm]? Wenn ja so betrachte mal die Funktion [mm]V(\blue{x}) := \green{10}\cdot{\blue{x}} - \green{334}\cdot{\blue{x^3}}[/mm] und leite diese mal ab.
Jetzt betrachte nochmal die Funktion von Teufel:
[mm]V(\blue{h}) : = \green{\frac{\pi}{3}r^2}\cdot{\blue{h}} - \green{\frac{\pi}{3}}\cdot{\blue{h^3}}[/mm]
und leite diese mal ab. 
Grüße
Karl
P.S. Falls du Probleme mit den Ableitungsregeln hast, so merk' dir erstmal
[mm]\frac{\partial}{\partial x}x^n = nx^{n-1}[/mm] und [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(x) + \frac{\partial}{\partial x}g(x) = \frac{\partial}{\partial x}(f(x)+g(x))[/mm]
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