extremwertaufgabe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
also die aufgabe lautet: in welchem verhältnis d:h müssen bei einem zylinder mit kreis als grundfläche der durchmesser d dieses Grundflächenkreises und die Höhe h des Zylinders stehen damit bei gegebenem Volumen V die Oberfläche A des Zylinders minimal wird.
Ich habe zunächst eine Hauptbedingung aufgestellt:
HB: 2pi*r*(r+h)=pi*d(d/2 +h)
(Formel zur berechnung der Oberfläche eines Zylinders) , so dann habe ich den durchmesser mit x bezeichnet und die höhe mit y
--> HB: pi*x(x/2 + y)
--> nebenbedingung: V=pi/4*d²*h
V=pi/4*((2x)²)*y
V=pi/4* (4x² * y)
nach y umstellen : y=1/(pi*x²)
--> Zielfunktion:
y einsetzen in die Hauptbedingung:
ZF : (pi*x²)/2 + 1/x
da die oberfläche ja minimal sein soll muss ich die extremwerte eigentlich berechnen 1. Ableitung der ZF=0 setzen.. ich weiß aber nicht wie ich das verhältnis darüber berechnen kann.. kann mir da jmd helfen?
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Hallo sanane,
> also die aufgabe lautet: in welchem verhältnis d:h müssen
> bei einem zylinder mit kreis als grundfläche der
> durchmesser d dieses Grundflächenkreises und die Höhe h
> des Zylinders stehen damit bei gegebenem Volumen V die
> Oberfläche A des Zylinders minimal wird.
>
> Ich habe zunächst eine Hauptbedingung aufgestellt:
> HB: 2pi*r*(r+h)=pi*d(d/2 +h)
> (Formel zur berechnung der Oberfläche eines Zylinders) ,
> so dann habe ich den durchmesser mit x bezeichnet und die
> höhe mit y
>
> --> HB: pi*x(x/2 + y)
>
> --> nebenbedingung: V=pi/4*d²*h
> V=pi/4*((2x)²)*y
> V=pi/4* (4x² * y)
Hier setzt Du plötzlich d=2x.
>
> nach y umstellen : y=1/(pi*x²)
Und hier V=1.
>
> --> Zielfunktion:
>
> y einsetzen in die Hauptbedingung:
>
> ZF : (pi*x²)/2 + 1/x
Das ist nicht richtig,
>
> da die oberfläche ja minimal sein soll muss ich die
> extremwerte eigentlich berechnen 1. Ableitung der ZF=0
> setzen.. ich weiß aber nicht wie ich das verhältnis
> darüber berechnen kann.. kann mir da jmd helfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
wie müsste ich dann vorgehen?
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Hallo sanane,
> wie müsste ich dann vorgehen?
Zunächst mußt Du die Nebenbedingung richtig auflösen:
[mm]V=\pi/4*d^{2}*h=\bruch{1}{4}*\pi*x^{2}*h \rightarrow h=\bruch{4*V}{\pi*x^{2}}[/mm]
Und dies dann in die Formel für die Oberfläche einsetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
okay also meine zielfunktion wäre dann:
(pi*d²)/2 + ((4pi*d)/x²)
die erste ableitung wäre dann -8pi*d*(x^-3) und wenn ich diese gleich null setze bekomme ich als extremwert Null raus.. da ist bestimmt wieder irgendwas falsch stimmts?
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Hallo sanane,
> okay also meine zielfunktion wäre dann:
>
> (pi*d²)/2 + ((4pi*d)/x²)
>
> die erste ableitung wäre dann -8pi*d*(x^-3) und wenn ich
> diese gleich null setze bekomme ich als extremwert Null
> raus.. da ist bestimmt wieder irgendwas falsch stimmts?
Irgendetwas ist da nicht richtig.
Ersetzt zunächst d durch x:
[mm](\pi*\blue{x}^{2})/2 + ((4\pi*\blue{x})/x^{2}[/mm]
bzw.
[mm](\pi*\blue{x}^{2})/2 + ((4\pi*\blue{x})/x^{2}[/mm]
Ersetze das [mm]\pi[/mm] im zweiten Summanden durch V:
[mm](\pi*x^{2})/2 + ((4\blue{V})/x}[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{\pi*x^{2}}{2}+\bruch{4*V}{x}[/mm]
Das ist dann die Zielfunktion.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
hmm und wie bekomme ich das verhältnis raus `?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bekommst ein x bzw daraus r in dem noch V steht. wenn du x und V hast kannst du d haben und dann das Verhältnis bilden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
hier ist doch irgendetwas faul..
wieso arbeitest du mit meiner angeblich falschen zielfunktion weiter...?!?!
(pi*d²/2)+ (4*pi*d/x²)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht, mit der hab ich nicht gearbeitet?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
Meine Zielfunktion müsste doch folgendermaßen lauten:
(pi*d²)/2 + 4*d*V/x²
oder nicht ??? da meine nebenbedingung ja 4*V/ pi*x² ist ... und ich sie in die hauptbedingung pi*d(d/2+h) einsetze...
ich bin jetzt ganz verwirrtt... das muss doch so richtig sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
kann mir jmd helfen ???:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> kann mir jmd helfen ???:/
Ich glaube, Du stellst Dir selbst ein Bein mit dem krampfhaften Versuch, unbedingt nur mit x oder y rechnen zu wollen. Fassen wir zusammen, was Du schon hast:
1. Hauptbedingung: $A=2 [mm] \pi [/mm] r(r+h)$
2. Nebenbedingung: V = konstant mit $V = [mm] \pi r^2 [/mm] h = [mm] \frac \pi4 \cdot d^2 \cdot h~\implies~h=\boxed{\dfrac{4V}{\pi d^2}}$
[/mm]
3. Jetzt h in der Hauptbedingung eliminieren. Ergibt die charakteristische Funktion oder Zielfunktion:
[mm] $A(d)=\pi [/mm] d [mm] \left(\frac d2 + \frac{4V}{\pi d^2}\right)$
[/mm]
4. Jetzt in A(d) die Klammer beseitigen, die Funktion nach d ableiten und gleich null setzen und d berechnen. Dann h berechnen (steht im Kasten unter 2.) Dann das Verhältnis.
5. In genau dieser Reihenfolge.
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
okay.. aufgelöst wäre es ja ...
(pi*d²)/2 + v/d
dann könnte man ja immer das quotientenregel anwenden
wäre meine ableitung denn richtig ??
A´(d)= (2pi*d*2)-(pi*d*0)/ 4 - V/(d²)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> okay.. aufgelöst wäre es ja ...
> (pi*d²)/2 + v/d
Na ja, nicht wirklich. Aus
$ [mm] A(d)=\pi [/mm] d [mm] \left(\frac d2 + \frac{4V}{\pi d^2}\right) [/mm] $ folgt:
$ [mm] A(d)=\frac \pi2 d^2 +\frac{4V}{ d} [/mm] = [mm] \frac \pi2 d^2 +4V\cdot d^{-1} [/mm] $
womit Du Dir die Quotientenregel erspart hast
>
> dann könnte man ja immer das quotientenregel anwenden
>
> wäre meine ableitung denn richtig ??
>
> A´(d)= (2pi*d*2)-(pi*d*0)/ 4 - V/(d²)
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
hmm jetzt aber
A´(x)= 2pi/2 * d - (4*V*d^-2)
= pi*d - 4V/d²
so?
wenn ich die erste ableitung jedoch jetzt null setze kommt da doch null raus ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> hmm jetzt aber
>
> A´(x)= 2pi/2 * d - (4*V*d^-2)
> = pi*d - 4V/d² ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so?
>
> wenn ich die erste ableitung jedoch jetzt null setze kommt
> da doch null raus ...
wo da?
Du sollst d berechnen!
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
ahhh okay also
A´(d)=0
dann habe ich zunächst d ausgeklammert
d (pi- (4V/ d³))=0
daraus folgt dass d1=0 ist schonmal
pi-(4V/d³)=0
nach d umstellen
d³=4V/pi
soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> ahhh okay also
>
> A´(d)=0
>
> dann habe ich zunächst d ausgeklammert
>
> d (pi- (4V/ d³))=0
>
> daraus folgt dass d1=0 ist schonmal
Oijoijoi! d = 0 ist nicht erlaubt, schließlich steht es im 2. Summanden im Nenner!
>
> pi-(4V/d³)=0
>
> nach d umstellen
>
> d³=4V/pi
>
> soweit richtig?
Das ist jetzt richtig!
Jetzt unter 2. den dazugehörenden h-Wert berechnen und dann das verlangte Verhältnis.
Bitte aufpassen: Die Umformungen beim Berechnen des h-Wertes sind (etwas) tückisch!
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
mano wie mache ich das denn jetzt...
h=4V/pi*d²
d³= 4V/pi
bei dem einem steht ² bei dem anderen ³ ... :/ wie setze ich das jetzt ein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
d= dritte wurzel aus 4V/pi
einsetzten in h
h= 4V/ pi* wurzel aus 4V/pi
wäre das so richtig... wie gehe ich aber weiter vor ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Ic hab nicht alle Rechnungen verfolgt. aber wenn du d und h hast kannst du doch d/h oder h/d bilden, das war doch gesucht
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sanane |
ja aber ich muss doch erst mal
d= dritte wurzel aus 4V/ in h einsetzen oder nicht ...
----> h= 4V/ pi* wurzel aus 4V/pi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 21.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sanane!
Du musst aber schon korrekt einsetzen.
Wir haben:
[mm]d \ = \ \wurzel[3]{\bruch{4*V}{\pi}}[/mm]
[mm]h \ = \ \bruch{4*V}{\pi*d^2} \ = \ \bruch{4*V}{\pi*\left( \ \wurzel[3]{\bruch{4*V}{\pi}} \ \right)^2} \ = \ ...[/mm]
Hier solltest Du etwas "sehr ähnliches" wie [mm]d_[/mm] erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
ich habs mal mit dem Kürzen versucht
also bleibt bei mir :
[mm] h=\bruch{1}{\wurzel[3]{\bruch{4V}{\pi}}}
[/mm]
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Hallo sanane,
> ich habs mal mit dem Kürzen versucht
> also bleibt bei mir :
>
> [mm]h=\bruch{1}{\wurzel[3]{\bruch{4V}{\pi}}}[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Sieh Dir den Post meines Vorredners nochmal genauer an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
Aber bei mir kommt immer wieder das selbe raus...
weiß nicht wie ich es sonst lösen kann.
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Hallo sanane,
> Aber bei mir kommt immer wieder das selbe raus...
>
> weiß nicht wie ich es sonst lösen kann.
Es steht doch da:
[mm]h=\bruch{\bruch{4*V}{\pi}}{\left(\bruch{4*V}{\pi}\right)^{2/3}}[/mm]
Und nach den Potenzgesetzen ergibt das ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
Ich habe da jetzt etwas sehr kompliziertes heraus:
[mm] =\bruch{2^{\bruch{2}{3}*\wurzel[3]{V}}}{\wurzel[3]{\pi}}
[/mm]
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Hallo sanane,
> Ich habe da jetzt etwas sehr kompliziertes heraus:
>
> [mm]=\bruch{2^{\bruch{2}{3}*\wurzel[3]{V}}}{\wurzel[3]{\pi}}[/mm]
Das komplizierte schreibt sich so: [mm]\left(\bruch{4*V}{\pi}\right)^{1/3}[/mm] bzw. [mm]\wurzel[3]{\bruch{4*V}{\pi}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:54 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
also war es fast richitig...
Ich habe nun d in h eingesetzt.
Wie rechne ich nun weiter?
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Hallo sanane,
> also war es fast richitig...
>
> Ich habe nun d in h eingesetzt.
> Wie rechne ich nun weiter?
>
Berechne nun das Verhältnis d zu h.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
Muss ich jetzt d in h einsetzen?
das wäre ja das gleich Spielchen wie vorhin...
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Hallo,
> Muss ich jetzt d in h einsetzen?
Das hattest Du doch schon getan. (?)
Vielleicht stellst Du mal übersichtlich das, was bisher getan wurde, zusammen. Dann müssen Helfer auch nicht den ganzen Thread durchsuchen, und Du bekommst etwas Chance auf Überblick.
"Verhältnis" hat in diesem Zusammenhang etwas mit dem Quotienten zu tun. Den mußt Du noch ausrechnen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 21.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> also war es fast richitig...
Brrr! Es gibt kein "fast richtig" (außer Du machst Fuzzy-Logik).
Aber Du hast recht: Dein Term ist richtig, aber außerordentlich barock geschrieben.
>
> Ich habe nun d in h eingesetzt.
> Wie rechne ich nun weiter?
>
Ich fasse mal für Dich zusammen.
Du hast bis jetzt:
$ d \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{4\cdot{}V}{\pi}} [/mm] $ und
$ h \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{4\cdot{}V}{\pi}} [/mm] $
Und nun sollst Du das Verhältnis von d zu h bestimmen, was nichts anderes bedeutet, dass Du den Quotienten [mm] $\dfrac [/mm] dh$ berechnen sollst.
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 21.12.2010 | | Autor: | sanane |
Dann wäre ja [mm] \bruch{d}{h} [/mm] = 1
Aber was bedeutet die 1 nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Di 21.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sanane!
> Dann wäre ja [mm]\bruch{d}{h}[/mm] = 1
> Aber was bedeutet die 1 nun?
Wenn Durchmesser $d_$ und Höhe $h_$ gleich groß sind, erhält man stets einen Zylinder mit minimaler Oberfläche (bei festem Volumen).
Gruß
Loddar
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Hallo sanane,
> Meine Zielfunktion müsste doch folgendermaßen lauten:
>
> (pi*d²)/2 + 4*d*V/x²
Wenn Du d durch x ersetzt, dann ist das die Zielfunktion.
>
> oder nicht ??? da meine nebenbedingung ja 4*V/ pi*x²
> ist ... und ich sie in die hauptbedingung pi*d(d/2+h)
> einsetze...
>
> ich bin jetzt ganz verwirrtt... das muss doch so richtig
> sein
Gruss
MathePower
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