extremale Oberlfläche Zylinder < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 10.09.2006 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Kreiskegel mit r>0 & h>0.
Es können Zylinder eingeschrieben werden, gesucht ist der mit einem extremalen Oberflächeninhalt. |
Hallo ihr Lieben!
Die Aufgabe oben ist mein Problem. Hab' schon gesucht, aber nichts passendes gefunden (es ging eigentlich immer ums volumen des zylinders).
Eigentlich hat die Aufgabe einen Radius r=4cm, möchte das ganze jedoch vollständig allgemein machen.
Eine kleine Skizze der ganzen Geschichte :
[Dateianhang nicht öffentlich]Edit: Okay, funktioniert nicht. Lads hoch
sodala..
Bedingungen
Hauptbedingung:
O=2*pi*r(r+h) [mm] \Rightarrow [/mm] O=2pi*x(x+y)
Nebenbedinung:
[mm] \bruch{r}{h}=\bruch{r-x}{y} \Rightarrow y=h-\bruch{hx}{r}
[/mm]
Zielfunktion:
[mm] o(x)=2pi*x(x+h-\bruch{hx}{r})
[/mm]
[mm] o'(x)=4pi*x+2pi*h-\bruch{4pi*x*h}{r}
[/mm]
Definitionsmenge:
[mm] \\{x | x>0>r \} [/mm] <-- richtig?!
Extremum
x:
2pi=0 [mm] \vee 2x-\bruch{2*x*h}{r}+h=0 \gdw x=-\bruch{hr}{2(r-h})
[/mm]
Bei dem Ergebnis gehts schon los. Verschiedene Programme/TR zeigen unterschiedliches an. Das für mich am meisten verwirrende ist, dass es mal Positiv und mal negativ ist. Würder nämlich in bestimmten Fällen nicht mit der Definitionsmenge übereinstimmen : /
y:
[mm] y=h-\bruch{hx}{r} [/mm] , x einsetzen
[mm] y=h-\bruch{h(\bruch{-hr}{2(r-h)})}{r}
[/mm]
[mm] \gdw h+\bruch{h^2*r^2}{2(r-h)} [/mm] <-- ist das weiter zu vereinfachen? Und ist das überhaupt richtig? Denn diesmal hat mir jedes Programm was komplett unteschiedliches ausgegeben.
Obwohl ich mir keineswegs sicher bin, dass diese Ergebnisse richtig sind, mach ich mal weiter ;)
[mm] O''(x)=4*pi+2*pi*h-\bruch{4*pi*h}{r}
[/mm]
[mm] O''(-\bruch{hr}{2(r-h})) [/mm] ... tja - is nich, ohne x kein Ergebnis : /
Jetzt wäre doch eigentlich richtig eine Falluntersuchung vor bzw nach x durchzuführen, hab mir diese Arbeit jetzt allerdings erstmal nicht gemacht, da ich überhaupt nicht weiß, ob irgendwas von dem da oben noch richtig ist.
Vielleicht habt ihr ja einen entscheidenen Tip, der mir hilft:)
Herzlichen Dank schonmal im Vorraus.
Jan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Jan
> Gegeben ist ein Kreiskegel mit r>0 & h>0.
> Es können Zylinder eingeschrieben werden, gesucht ist der
> mit einem extremalen Oberflächeninhalt.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Die Aufgabe oben ist mein Problem. Hab' schon gesucht, aber
> nichts passendes gefunden (es ging eigentlich immer ums
> volumen des zylinders).
>
> Eigentlich hat die Aufgabe einen Radius r=4cm, möchte das
> ganze jedoch vollständig allgemein machen.
>
> Eine kleine Skizze der ganzen Geschichte :
> [Dateianhang nicht öffentlich]Edit: Okay, funktioniert nicht. Lads hoch
>
> sodala..
>
> Bedingungen
>
> Hauptbedingung:
> O=2*pi*r(r+h) [mm]\Rightarrow[/mm] O=2pi*x(x+y)
Ist OK.
>
> Nebenbedinung:
> [mm]\bruch{r}{h}=\bruch{r-x}{y} \Rightarrow y=h-\bruch{hx}{r}[/mm]
Auch OK.
>
> Zielfunktion:
> [mm]o(x)=2pi*x(x+h-\bruch{hx}{r})[/mm]
Jo, einverstanden.
>
> [mm]o'(x)=4pi*x+2pi*h-\bruch{4pi*x*h}{r}[/mm]
Jupp.
>
>
> Definitionsmenge:
> [mm]\\{x | x>0>r \}[/mm] <-- richtig?!
Meiner Meinung nach hieße das, daß x größer Null, also positiv sei, aber r kleiner Null, also negativ sei, was ja laut deiner Aufgabenstellung ausgeschlossen sei, da ja r>0 gelte.
Ich denke du möchtest angeben, daß dein Radius des Zylinders (x) größer als Null, jedoch kleiner als der Radius des Kreiskegels (r) sei. Dann solte es heißen: {x|0<x<r}
>
>
>
> Extremum
> x:
> 2pi=0 [mm]\vee 2x-\bruch{2*x*h}{r}+h=0 \gdw x=-\bruch{hr}{2(r-h})[/mm]
>
> Bei dem Ergebnis gehts schon los. Verschiedene Programme/TR
> zeigen unterschiedliches an. Das für mich am meisten
> verwirrende ist, dass es mal Positiv und mal negativ ist.
> Würder nämlich in bestimmten Fällen nicht mit der
> Definitionsmenge übereinstimmen : /
Komme auf den selben Term: [mm] x=\bruch{-h*r}{2(r-h)}
[/mm]
An dieser Stellewirst du um eine Fallunterscheidung nicht drumrum kommen. Also wirst du den Extremwert für
1) r-h>0, also r>h
2) r-h<0, also r<h und
3) r=h (was nicht passieren darf, denn dann wäre dein Extremwert nicht definiert)
untersuchen müssen.
>
> y:
> [mm]y=h-\bruch{hx}{r}[/mm] , x einsetzen
>
> [mm]y=h-\bruch{h(\bruch{-hr}{2(r-h)})}{r}[/mm]
> [mm]\gdw h+\bruch{h^2*r^2}{2(r-h)}[/mm] <-- ist das weiter zu
> vereinfachen? Und ist das überhaupt richtig? Denn diesmal
> hat mir jedes Programm was komplett unteschiedliches
> ausgegeben.
Ich komme auf: [mm] y=h+\bruch{h^{2}}{2(r-h)}
[/mm]
>
>
> Obwohl ich mir keineswegs sicher bin, dass diese Ergebnisse
> richtig sind, mach ich mal weiter ;)
>
> [mm]O''(x)=4*pi+2*pi*h-\bruch{4*pi*h}{r}[/mm]
>
> [mm]O''(-\bruch{hr}{2(r-h}))[/mm] ... tja - is nich, ohne x kein
> Ergebnis : /
>
> Jetzt wäre doch eigentlich richtig eine Falluntersuchung
> vor bzw nach x durchzuführen, hab mir diese Arbeit jetzt
> allerdings erstmal nicht gemacht, da ich überhaupt nicht
> weiß, ob irgendwas von dem da oben noch richtig ist.
>
Jo, Falluntersuchung ist angebracht.
Ich erhalte allerdings für O''(x) folgendes:
[mm] O''(x)=4\pi-4\pi\bruch{h}{r}=4\pi(1-\bruch{h}{r})
[/mm]
Die Falluntersuchung muss sich nun auf h und r richten. Wie schon vorhin erwähnt gibt es ja 3 Möglichkeiten (r<h; r>h; r=h).
Für r<h würde der Term [mm] \bruch{h}{r}>1 [/mm] sein, wodurch beim Term [mm] 1-\bruch{h}{r} [/mm] eine negative Zahl erzeugt wird. Der Faktor [mm] 4\pi [/mm] ist wegen [mm] \pi>0 [/mm] eh immer positiv, wodurch letztendlich im Term [mm] 4\pi(1-\bruch{h}{r}) [/mm] ein negativer Wert für den Fall r<h ermittelt wird, was für diesen Fall auf ein Maximum hindeutet.
Für r>h und r=h müsstest du ähnliche Überlegungen anstellen (wobei du dir r=h sparen kannst, da wir dies ja bei der Ermittlung der Extremwerte schon ausgeschlossen hatten).
>
>
> Vielleicht habt ihr ja einen entscheidenen Tip, der mir
> hilft:)
>
> Herzlichen Dank schonmal im Vorraus.
>
> Jan
>
>
Viel Erfolg.
Gruß,
Tommy
|
|
|
| |
|
Hallo Jan,
schau dir mal diese Aufgabe an.
Einiges davon könntest du auch nutzen.
> Gegeben ist ein Kreiskegel mit r>0 & h>0.
> Es können Zylinder eingeschrieben werden, gesucht ist der
> mit einem extremalen Oberflächeninhalt.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Die Aufgabe oben ist mein Problem. Hab' schon gesucht, aber
> nichts passendes gefunden (es ging eigentlich immer ums
> volumen des zylinders).
>
> Eigentlich hat die Aufgabe einen Radius r=4cm, möchte das
> ganze jedoch vollständig allgemein machen.
>
> Eine kleine Skizze der ganzen Geschichte :
> [Dateianhang nicht öffentlich]Edit: Okay, funktioniert nicht. Lads hoch
>
> sodala..
>
> Bedingungen
>
> Hauptbedingung:
> O=2*pi*r(r+h) [mm]\Rightarrow[/mm] O=2pi*x(x+y)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nebenbedinung:
> [mm]\bruch{r}{h}=\bruch{r-x}{y} \Rightarrow y=h-\bruch{hx}{r}[/mm]
>
> Zielfunktion:
> [mm]o(x)=2pi*x(x+h-\bruch{hx}{r})[/mm]
umsortieren, damit man besser erkennen kann, welche Funktion man untersucht:
[mm]o(x)=2\pi*(x^2+hx-x*\bruch{hx}{r}) = o(x)=2\pi*(x^2+hx-\bruch{h}{r}*x^2) = 2\pi*((1-\bruch{h}{r}) *x^2 + hx)[/mm]
Bilde jetzt mal selbst die Ableitung und denke dran, h, r und [mm] \pi [/mm] sind Konstanten der Aufgabe!
>
> [mm]o'(x)=4pi*x+2pi*h-\bruch{4pi*x*h}{r}[/mm]
>
>
> Definitionsmenge:
> [mm]\\{x | x>0>r \}[/mm] <-- richtig?!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$0<x<r$ r muss größer sein als x (gesunder Menschenverstand!)
> Extremum
> x:
> 2pi=0 [mm]\vee 2x-\bruch{2*x*h}{r}+h=0 \gdw x=-\bruch{hr}{2(r-h)}[/mm]
[mm] $x=\bruch{hr}{2(-r +h)}$
[/mm]
>
> Bei dem Ergebnis gehts schon los. Verschiedene Programme/TR
> zeigen unterschiedliches an. Das für mich am meisten
> verwirrende ist, dass es mal Positiv und mal negativ ist.
> Würder nämlich in bestimmten Fällen nicht mit der
> Definitionsmenge übereinstimmen : /
Sollst du unbedingt mit TR rechnen? Benutze lieber deinen Kopf. 
Bislang war alles im wesentlichen ok.
>
> y:
> [mm]y=h-\bruch{hx}{r}[/mm] , x einsetzen
besser: [mm]y=h- x\bruch{h}{r}[/mm]
>
> [mm]y=h-\bruch{h(\bruch{-hr}{2(r-h)})}{r}[/mm]
damit:
[mm]y=h- \bruch{hr}{2(h -r)}*\bruch{h}{r} = h- \bruch{h}{2(h -r)}*h = h- \bruch{h^2}{2(h -r)}[/mm]
> [mm]\gdw h+\bruch{h^2*r^2}{2(r-h)}[/mm] <-- ist das weiter zu
> vereinfachen? Und ist das überhaupt richtig? Denn diesmal
> hat mir jedes Programm was komplett unteschiedliches
> ausgegeben.
>
>
> Obwohl ich mir keineswegs sicher bin, dass diese Ergebnisse
> richtig sind, mach ich mal weiter ;)
>
> [mm]O''(x)=4*pi+2*pi*h-\bruch{4*pi*h}{r}[/mm]
nimm mal unser neues o(x) und o'(x) und rechne damit weiter.
Bedenke: Ableitung einer additiven Konstanten ist = 0 !!
Jetzt lass ich dich mal allein weiterrechnen - muss weg! ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
Das schaffst du schon!
Ich schau heute abend noch mal vorbei...
>
> [mm]O''(-\bruch{hr}{2(r-h}))[/mm] ... tja - is nich, ohne x kein
> Ergebnis : /
>
> Jetzt wäre doch eigentlich richtig eine Falluntersuchung
> vor bzw nach x durchzuführen, hab mir diese Arbeit jetzt
> allerdings erstmal nicht gemacht, da ich überhaupt nicht
> weiß, ob irgendwas von dem da oben noch richtig ist.
>
>
>
> Vielleicht habt ihr ja einen entscheidenen Tip, der mir
> hilft:)
>
> Herzlichen Dank schonmal im Vorraus.
>
> Jan
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 11.09.2006 | | Autor: | kappen |
Oje, die Definitionsmenge habbich schlicht und ergreifend falsch hingeschrieben : / Hatte schon die richtige Überlegung --> Tipfehler :)
$ y=h- [mm] \bruch{hr}{2(h -r)}\cdot{}\bruch{h}{r} [/mm] = h- [mm] \bruch{h}{2(h -r)}\cdot{}h [/mm] = h- [mm] \bruch{h^2}{2(h -r)} [/mm] $
Diese Umformung verstehe ich. Allerdings verstehe ich nicht, warum ich nicht auf das Ergebnis gekommen bin. Ich wollte eigentlich mit Kehrwert multiplizieren und nach einigen umformungen kam ich dann auf
[mm] h=\bruch{-h^2r^2}{2(r-h)} [/mm] .. könnte einer von euch (von mir aus auch 2 ;)) erklären, warum das nicht möglich ist? :)
Bei der 2. Ableitung habbich vergessen den mittleren Teil rauszuwerfen.. Blind.
Ich rechne jetzt mal weiter und poste dann die Ergebnisse.
Herzlichen Dank euch beiden!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 11.09.2006 | | Autor: | kappen |
Das habe ich ja noch nie gehört??!?! Oje - ich zweifle an mir. Dachte eigentlich ich würd Umformungen etc beherrschen.
Hab' mal weitergerechnet..
[mm] O''(x)=4pi(1-\bruch{h}{r}
[/mm]
Fallunterscheidung:
h>r --> HP
h=r --> nicht definiert (?? oder wie soll ich das sonst schreiben? ist jedenfalls 0)
h<r --> TP
y hatte ich ja schon (auch verstanden, wie mans rechnet ;))
in O(x) eingesetzt, vereinfacht -->
[mm] O(x)=0.5pi*\bruch{h^2r}{h-r}
[/mm]
richtig?
Ich bin mir leider nicht ganz bewusst, wie ich nach errechnen der Extremwerte weiter vorzugehen habe.. Eigentlich käme ja die Überprüfung durch die nächste Ableitung - funktionierte hier ja nicht.
Gibt es da eine Art Schema oder Tips, wie ich die günstigste Reihenfolge abarbeite?
Gruß,
Jan
|
|
|
| |
|
Hier nun meine Kurzform im Zusammenhang:
[mm] $O(x)=2\pi*x*(x+y) \text{ mit (2) } \bruch{r}{h} [/mm] = [mm] \bruch{r-x}{y}$ [/mm] mit deinen Bezeichnungen
löse (2) nach y auf und setze in O(x) ein:
du erhältst eine Funktion, die nur noch von x abhängt:
$O(x) = [mm] 2\pi*(\bruch{r-h}{r}*x^2 [/mm] + h*x)$ also quadratische Funktion!
1. und 2. Ableitung bilden:
$O'(x) = 2 [mm] \pi *(\bruch{2(r-h)}{r}*x [/mm] + h)$
$O''(x) = 2 [mm] \pi *\bruch{2(r-h)}{r}$
[/mm]
Extremum: die erste Ableitung muss 0 werden: O'(x) = 0 [mm] \Rightarrow $x_E [/mm] = [mm] \bruch{h*r}{2(h-r)}$ [/mm] (notwendige Bedingung für h [mm] \ne [/mm] r)
prüfe auf Max oder Min: untersuche [mm] $O''(x_E)$
[/mm]
[mm] O''(x_E) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
[mm] O''(x_E) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
Diese Eigenschaft hängt nun in deinem Fall (mit Variablen r, h) von dem Term (h-r) ab und erfordert eine Fallunterscheidung.
Du kannst aber jetzt auch deine Zahlenwerte für r und h einsetzen ...
So, nun vollziehe diese Rechnung mal nach - ich hoffe, sie enthält keine Rechen- oder Tippfehler.
Nachfragen bei Unklarheit erwünscht.
Gruß informix
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Bruchrechnen