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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] exp(t\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}) [/mm] |
So, habe nun versucht, die Aufgabe zu lösen.
Ich berechne von der Matrix die Eigenwerte über das chark. Polynom [mm] p(x)=(1-x)^3, [/mm] also gibt es nur einen Eigenwert x=1, algebraischer Vfh. ist 3, für die geom. Vfh. berechnen ich den Eigenraum, also [mm] A-1*En(Einheitsmatrix)=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}, [/mm] also liegen im Kern [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}>, [/mm] also geometrische Vfh ist 2, demnach gibt es 2 Jordanblöcke, also muss die Jordanmatrix wie folgt aussehen
[mm] J=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Nun brauch man noch eine invertierbare Matrix, um die Ähnlicheskeitstransformation durchführen zu können. Man nehme die beiden Vektoren, die im Kern liegen, der dritte Vektor muss in [mm] (A-En)^2 [/mm] liegen, also in ganz [mm] \IR^3, [/mm] darf aber nicht linear abhängig zu den anderen Vektoren sein. Deswegen wähle ich [mm] \vektor{0 & 0 & 1}
[/mm]
Zusammenfassung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wenn man die exp(t(Matrix)) berechnen möchte, muss man nur die Jordanmatrix e hoch nehmen, also bekäme ich als Endergebnis
[mm] \pmat{ e^t & te^t & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^t}
[/mm]
Meine Bitte: Wo liegen meine Fehler, was ist falsch, wie kann man es anders bzw. besser machen?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Berechnen Sie [mm]exp(t\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1})[/mm]
>
> So, habe nun versucht, die Aufgabe zu lösen.
> Ich berechne von der Matrix die Eigenwerte über das
> chark. Polynom [mm]p(x)=(1-x)^3,[/mm] also gibt es nur einen
> Eigenwert x=1, algebraischer Vfh. ist 3, für die geom.
> Vfh. berechnen ich den Eigenraum, also
> [mm]A-1*En(Einheitsmatrix)=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},[/mm]
> also liegen im Kern [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}>,[/mm]
> also geometrische Vfh ist 2, demnach gibt es 2
> Jordanblöcke, also muss die Jordanmatrix wie folgt
> aussehen
> [mm]J=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> Nun brauch
> man noch eine invertierbare Matrix, um die
> Ähnlicheskeitstransformation durchführen zu können. Man
> nehme die beiden Vektoren, die im Kern liegen, der dritte
> Vektor muss in [mm](A-En)^2[/mm] liegen, also in ganz [mm]\IR^3,[/mm] darf
> aber nicht linear abhängig zu den anderen Vektoren sein.
> Deswegen wähle ich [mm]\vektor{0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Zusammenfassung:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Wenn man die exp(t(Matrix)) berechnen möchte, muss man nur
> die Jordanmatrix e hoch nehmen, also bekäme ich als
> Endergebnis
> [mm]\pmat{ e^t & te^t & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^t}[/mm]
>
> Meine Bitte: Wo liegen meine Fehler, was ist falsch, wie
> kann man es anders bzw. besser machen?
Hier ist folgendes Vorgehen gedacht:
[mm]e^{t*A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
mit [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Berechne also zunächst einige Potenzen von A,
bevor Du zu einer allgemeinen Formel von [mm] A^{k}[/mm] kommst.
Setze dann diese allgemeine Formel in die gegebene Formel ein:
[mm]e^{t*A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
Berechne dann diese unendliche Summe für jeden Eintrag der Matrix A.
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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Hallo!
Würde mich gerne mal mit deinem Ansatz versuchen.
Also bei den Potenzen ändert sich immer nur der obere rechte Eintrag
[mm] A^2=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] A^3=\pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] usw.
Wenn ich dies nun in die allgemeine Formel einsetze, dann bekommt man ja
$ [mm] e^{t\cdot{}A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}\cdot{}A^{k} $=En+tA+(1/2)t^2 [/mm] + ...
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}+t\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} +(1/2)t^2\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}, [/mm] aber das bringt mich nicht so richtig weiter. Hab da noch ne Frage. Wo ist das exp geblieben? ALso in der Lösung kommt ja exp vor und ich habe das Summenzeichen nur ausgeschrieben, also müssten beide Seiten äquivalent sein. Wäre schön, wenn mir einer helfen kann.
Ich hab noch ne andere Idee:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}+\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] Da die beiden rechten Matrizen kommutativ sind, kann man doch einfach exp(tA) so schreiben:
[mm] exp(t(\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}))*exp(t(\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}))
[/mm]
Die erste Matrix ist in Diagonalgestalt, also muss man nur die Diagonale e hoch nehmen
Also
[mm] \pmat{ e^t & 0 & 0 \\ 0 & e^t & 0 \\ 0 & 0 & e^t}*\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Hilft das hier weiter bzw. ist das richtig so? Wie kann man die letzte Matrix noch auflösen, also e hoch berechnen?
Wäre nett, wenn mir einer meine Fragen beantworten kann
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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> Ich hab noch ne andere Idee:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}+\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0}[/mm]
> Da die beiden rechten Matrizen kommutativ sind, kann man
> doch einfach exp(tA) so schreiben: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]exp(t(\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}))*exp(t(\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0}))[/mm]
bringt dir meiner Ansicht noch keine Rechenvorteil. "Normalerweise" zerlegt man die JNF der Matrix
>
> Die erste Matrix ist in Diagonalgestalt, also muss man nur
> die Diagonale e hoch nehmen
> Also
> [mm]\pmat{ e^t & 0 & 0 \\
0 & e^t & 0 \\
0 & 0 & e^t}*\pmat{ \red{1} & 0 & \red{t} \\
0 & \red{1} & 0 \\
0 & 0 & \red{1}}[/mm]
Die roten Zahlen wären die richtigen gewesen.
Übrigens war deine Idee nicht schlecht:
[mm]\underbrace{\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\
0&1&1\\
0&1&0\end {array} \right) }_{P}*\underbrace{ \left( \begin {array}{cc|c} 1&1&0\\
0&1&0\\
\hline 0&0&1\end {array} \right) }_{J}*\underbrace{ \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&-1\end {array} \right)}_{P^{-1}} = \underbrace{ \left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\
0&1&0\\
0&0&1\end {array} \right) }_{M}[/mm]
Damit [mm]e^M=P*e^{(t*J)}*P^{-1}[/mm]
Es gilt:
[mm]\exp\left(t \cdot \begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\
0&\lambda&1&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\lambda&1\\
0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}\right) = e^{t\lambda}\cdot\begin{pmatrix}1&\frac{t^1}{1!}&\frac{t^2}{2!}&\cdots&\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\\
0&1&\frac{t^1}{1!}&\cdots&\frac{t^{n-2}}{(n-2)!}\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&1&\frac{t^1}{1!}\\
0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}[/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia)
In deinem Fall also:
[mm]\exp(\,t*\underbrace{\left( \begin {array}{cc|c} 1&1&0\\
0&1&0\\
\hline 0&0&1\end {array} \right)}_{J} )=\left( \begin {array}{cc|c} e^{t}&e^{t}*t&0\\
0&e^{t}&0\\
\hline 0&0&e^{t}\end {array} \right) [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 07.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Deine Basiswechselmatrizen sind falsch (du hast ja da die Einheitsmatrix hier
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] $
Und die Matrix rechts in der Mitte stimmt ja nicht mit der auf der linken Seite überein!).
Im Prinzip musst du deine gefundenen Basisvektoren aber nur anders anordnen.
[mm] P=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] wäre richtig.
Dann hast du [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=P^{-1}* \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}*P.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Vielen Dank für die Hilfe. Hab meinen Fehler nicht gesehen.
Gruß
TheBozz-mismo
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