exp von Matrix < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] M:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm]
Berechen $exp(Mt)$ mit [mm] t\in\IR [/mm] |
Hallo,
ich muss ja hier über die expontentialreihe gehen. Also sei A eine Matrix, dann ist [mm] exp(A)=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}.
[/mm]
Jetzt kenne ich zwei Möglichkeiten dies zu berechnen:
Es ist [mm] A^n=0 [/mm] für ein [mm] $n<<\infty$, [/mm] dann hat man nur eine endliche Summe zu berechnen.
Oder man diagonalisiert die Matrix, denn für [mm] A=\pmat{ a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22}} [/mm] ist [mm] exp(A)=\pmat{ e^{a_{11}} & 0 \\ 0 & e^{a_{22}}}.
[/mm]
Leider ist diese Matrix nicht über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar, da sie die Eigenwerte [mm] $\pm [/mm] i$ hat.
Wie kann ich also hier am Besten exp(Mt) bestimmen?
Danke, viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Fr 15.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Berechnet man einige Potenzen von M,
(1) [mm] $M^2 [/mm] = -E, [mm] M^3= [/mm] -M, [mm] M^4= [/mm] E, [mm] M^5 [/mm] = M, ...$,
wobei E = Einheitsmatrix,
so sieht man:
(2) [mm] $e^{Mt} [/mm] = (cost)E+(sint)M$
Vergleiche mal (1) mit
[mm] $i^2 [/mm] = -1, [mm] i^3 [/mm] = -i, [mm] i^4 [/mm] = 1, ...$,
so erinnert (2) an
[mm] $e^{it} [/mm] = cost+i sint$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Fr 15.05.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Perfekte Antwort,
vielen Dank dafür!
|
|
|
|
