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exp(sin/cos): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:26 Do 19.01.2012
Autor: Gnocchi

Aufgabe
Zeigen Sie [mm] (sin(\bruch{z}{2}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1-cos(z)z \in \IC [/mm]

Hab jetzt folgenden Ansatz, aber ich glaube der ist falsch:
[mm] (sin(\bruch{z}{2}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{exp(i\bruch{z}{2})-exp(-i\bruch{z}{2}}){2i}*\bruch{exp(i\bruch{z}{2})-exp(-i\bruch{z}{2}}){2i} [/mm]
[mm] =(\bruch{exp(i\bruch{z}{2}{2i}-exp(-i\bruch{z}{2}}*(\bruch{exp(i\bruch{z}{2}{2i}-exp(-i\bruch{z}{2}}{2i} [/mm]
=1/4 (exp [mm] (i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}9 [/mm] - [mm] exp(i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}-exp(-i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2}+exp exp(-i\bruch{z}{2}+i\bruch{z}{2} [/mm]

Irgendwie hab ich nun irgendwo was falsch gemacht. die 2i sollen jeweils unter den Brüchen stehen.
Kann mir da jemand weiterhelfen oder evtl nen Ansatz geben?

        
Bezug
exp(sin/cos): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Do 19.01.2012
Autor: chrisno

Ich denke, DU bist auf dem richtigen Weg. Da ich nicht durchblicke, was Du genauer rechnest, habe ich die ersten Terme mal richtig formatiert

[mm](sin(\bruch{z}{2}))^{2}[/mm] =
[mm]\bruch{ exp(i \bruch{z}{2}) - exp(-i\bruch{z}{2})}{2i} *\bruch{ exp(i \bruch{z}{2}) - exp(-i\bruch{z}{2})}{2i}[/mm]
  
Im nächsten Schritt kommen ein paar Fehler. Es gilt $exp(a) * exp(b) = exp(a+b)$
Berechne:
$exp( i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp( i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $
$exp( i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp(-i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $
$exp(-i [mm] \bruch{z}{2}) [/mm] * exp(-i [mm] \bruch{z}{2})= [/mm] $


Bezug
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