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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 02.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für [mm] A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] die Potenzen [mm] A^k [/mm] und [mm] B^k [/mm] und damit die Exponentialfunktionen expA und expB. |
Hallo.
Gibt es für die Berechnungen der Potenzen ein Schema? Hab dazu bisher nichts gefunden. Genauso ratlos bin ich momentan bei den Exponentialfunktionen. Kann mir jemand erklären wie man sowas macht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Berechnen Sie für [mm]A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }[/mm] und [mm]B=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> die Potenzen [mm]A^k[/mm] und [mm]B^k[/mm] und damit die
> Exponentialfunktionen expA und expB.
> Hallo.
> Gibt es für die Berechnungen der Potenzen ein Schema? Hab
[mm] $A^k [/mm] = [mm] \underbrace{A*A*\dots*A}_{\text{k-mal}}$
[/mm]
> dazu bisher nichts gefunden. Genauso ratlos bin ich
> momentan bei den Exponentialfunktionen. Kann mir jemand
[mm] $exp(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$
[/mm]
> erklären wie man sowas macht?
Du nimmst die ersten paar Potenzen [mm] $A^2=\, [/mm] ?,\ [mm] A^3=\, [/mm] ?$, dann findest Du das Schema selber.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 02.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Ich habe gerade nochmal in alten Unterlagen geblättert, könnte man den ersten Teil nicht auch lösen, indem man das charakteristische Polynom der Matrix berechnet, das hilft doch zum Beispiel bei höheren k (also z.b. k>3), oder? Ich glaube das hiess Satz von Cayley-Hamilton oder so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich habe gerade nochmal in alten Unterlagen geblättert,
> könnte man den ersten Teil nicht auch lösen, indem man das
> charakteristische Polynom der Matrix berechnet, das hilft
> doch zum Beispiel bei höheren k (also z.b. k>3), oder? Ich
[mm] $A^3=$
[/mm]
Rechne. Es. Aus.
Du brauchst keine Hilfe bei höheren k, glaub mir. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 02.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Okay, ich glaube dir :)
Habs ausgerechnet, [mm] A^3=\pmat{ a^3 & 0 \\ 0 & b^3 }, [/mm] daraus folgt dann ja sicherlich [mm] A^k=\pmat{ a^k & 0 \\ 0 & b^k }, [/mm] nicht?
Okay, nun doch noch eine doofe Frage zu exp(A).
Wie schreibt man das denn hin? Einfach: exp(A)= [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \pmat{ \bruch{a^k}{k!} & 0 \\ 0 & \bruch{b^k}{k!} }? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Okay, ich glaube dir :)
> Habs ausgerechnet, [mm]A^3=\pmat{ a^3 & 0 \\ 0 & b^3 },[/mm] daraus
> folgt dann ja sicherlich [mm]A^k=\pmat{ a^k & 0 \\ 0 & b^k },[/mm]
> nicht?
Ja, Beweis per Induktion.
> Okay, nun doch noch eine doofe Frage zu exp(A).
> Wie schreibt man das denn hin? Einfach: exp(A)=
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \pmat{ \bruch{a^k}{k!} & 0 \\ 0 & \bruch{b^k}{k!} }?[/mm]
Man summiert Matrizen koeffizientenweise, das machst Du jetzt hier auch, dann kriegst Du die Exponentialfunktion in den Einträgen der Hauptdiagonalen.
Btw, das Ergebnis, daß man für die Exponentialfunktion von Diagonalmatrizen einfach die Exponentialfunktion der Einträge hernimmt, ist wichtig.
Du brauchst [mm] $e^A$ [/mm] (z.B.) für Differentialgleichungssysteme. Um das zu erhalten, suchst Du nun die Eigenwerte/-vektoren und diagonalisierst damit die Matrix und kannst so die Exponentialfunktion bestimmen, ohne eine Unsumme von Matrix-Matrix-Multiplikationen durchzuführen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:13 So 03.02.2008 | | Autor: | chipbit |
okay, das mit der Induktion ist in Ordnung...
noch zu expA:
Das wäre dann doch [mm] \pmat{ \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{a^k}{k!} & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{b^k}{k!} } [/mm] oder? kann man das noch anders schreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:22 Mo 04.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Blech |
Das solltest Du aber wirklich wissen:
$ [mm] exp(a)=\sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} [/mm] $
Ich hatte es oben ja soger extra nochmal hingeschrieben.
Wenn Du in Deinem Leben nur eine Reihe lernst, dann die Exponentialreihe (k, geometrische wäre wahrscheinlich auch ganz praktisch)
Schäm Dich =)
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