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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 20.12.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Seien [mm] (z_{n})_{n} [/mm] und [mm] (w_{n})_{n} [/mm] konvergente Folgen mit demselben Grenzwert . zeige dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{exp(z_{n})}{exp(w_{n})}=1 [/mm] |
Hallo,
Also anschaulich ist dass klar!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{exp(z_{n})}{exp(w_{n})}=1
[/mm]
[mm] \gdw\limes_{n\rightarrow\infty} (exp(z_{n}) *\bruch{1}{exp(w_{n})})=1
[/mm]
Mir ist gesagt worden ich müsse diesen Schritt beweisen, und dass Kann ich nicht!
[mm] \gdw\limes_{n\rightarrow\infty} (exp(z_{n}-w_{n})) [/mm] =1
Hintergrund: in der Vorlesung wurde gezeigt:
exp(x)*exp(y)=exp(x+y)
wenn dieser Schritt gezeigt ist ist alles ganz leicht:
Definiere
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n} [/mm] =:z
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} w_{n} [/mm] =:w
Da die Grenzwerte gleich sind Gilt z=w
Aus
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (exp(z_{n}-w_{n})) [/mm] =1
folgt dann
exp(z-w) =1
[mm] \gdw [/mm] exp(0) = 1 (nach Vorlesung.)
Vielen Dank für eure Hilfe
MFG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo CPH!
Verwende, dass gilt: [mm] $\bruch{1}{\exp(w_n)} [/mm] \ = \ [mm] [\exp(w_n)]^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \exp[(-1)*w_n] [/mm] \ = \ [mm] \exp(-w_n)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 21.12.2006 | | Autor: | CPH |
Erst mal Danke
aber warum gilt :
[mm] [exp(w_{n})]^{-1}= exp[(-1)w_{n}]??
[/mm]
MFG
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 21.12.2006 | | Autor: | Brumm |
Hallo
Es gilt : [mm] \bruch{1}{exp(w_n)} [/mm] = [mm] exp(-w_n)
[/mm]
denn [mm] exp(w_n) exp(-w_n) [/mm] = [mm] exp(w_n [/mm] - [mm] w_n) [/mm] = exp(0) = 1
Teilen durch [mm] exp(w_n) [/mm] liefert das Gewünschte
Damit ist klar dass [mm] \bruch{exp(z_n)}{exp(w_n)} [/mm] = [mm] exp(z_n) [/mm] * [mm] exp(-w_n) [/mm] = [mm] exp(z_n [/mm] - [mm] w_n)
[/mm]
Brumm
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