existiert uneigentl. Integral? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral existiert:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} dx}
[/mm]
..und Berechnen Sie das Integral. |
Hallo Zusammen,
wieder habe ich einige schwierigkeiten an einer Aufgabe. Und zwar soll ich zeigen, dass dieses Integral existiert.
Dazu war meine Idee, eine Abschätzung zu finden, welche das angegebene Integral nachbildet und auch zeigt, dass es existiert. Zunächst habe ich das Integral ein wenig zusammengefasst..
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}+\wurzel{x^3})} dx}
[/mm]
So, und nun Suche ich ja eine entsprechende Funktion. Da der Zähler 1 ist, kann ich in meiner Funktion den Zähler ja auch 1 setzen. Jetzt muss ich noch den Nenner abschätzen. Ich muss ihn natürlich auch so abschätzen, dass das uneigentliche Integral mit dieser abgeschätzten Funktion existiert. Wie genau kann ich das jedoch machen? was wäre mit fogender Abschätzung?
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
Oder ist die Abschätzung zu weit hergeholt? Nunja, sie wäre immerhin leicht zu integrieren :)
Mein erster Ansatz war übrigens folgende Abschätzung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^3}} dx}
[/mm]
Aber das Integral dürfte ja eigentlich auch nicht existieren.
Generell verwirrt mich das Integral in der Aufgabenstellung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} dx}
[/mm]
etwas. Denn intuitiv hätte ich eigentlich gesagt, dass das Integral nicht existiert, da ja bei [mm] x_0=0 [/mm] eine Polstelle existiert und der Flächeninhalt dort gegen unendlich geht.
Könnt ihr mir einen weiteren Ansatz geben?
Vielen Dank,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zunächst mal hat der Integrand \bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} bei x_0 = 0 keine Polstelle ! Für x=0 ist er = 1 !
Edit: obiges ist natürlich Blödsinn !
Gehe wie folgt vor:
Für b > 0 berechne das Integral
$ \integral_{0}^{b}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} dx} $
Hinweis: Substitution $t= \wurzel{x}$
dann schau ob , der Grenzwert
\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}} dx} existiert und wie er ausfällt.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe:
$\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel{x}}= \pi$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
Ah okay, gut das Integral hatte ich auch schon mit Substitution berechnet, und habe ebenfalls [mm] \pi [/mm] als Ergebnis.
Allerdings dachte ich, um zu zeigen dass das Integral existiert, muss ich hier die Funktion abschätzen.
Allerdings verstehe ich jetzt nicht, warum der Integrand 1 wird. Ich hätte ihn jetzt folgendermaßen (für [mm] x_0=0) [/mm] beschrieben:
[mm] \bruch{1}{(1+0)\wurzel{0}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}
[/mm]
Und das ist ja eigentlich nicht erlaubt. Oder habe ich hier irgendwie falsch aufgelöst?
Viele Grüße,
Kalka
(Danke für die schnellen Beantwortungen *hut ab*)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay, gut das Integral hatte ich auch schon mit
> Substitution berechnet, und habe ebenfalls [mm]\pi[/mm] als
> Ergebnis.
>
> Allerdings dachte ich, um zu zeigen dass das Integral
> existiert, muss ich hier die Funktion abschätzen.
>
> Allerdings verstehe ich jetzt nicht, warum der Integrand 1
> wird. Ich hätte ihn jetzt folgendermaßen (für [mm]x_0=0)[/mm]
> beschrieben:
>
>
> [mm]\bruch{1}{(1+0)\wurzel{0}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
Au Backe , da hab ich nicht genau hingesehen !! Du hast recht
>
> Und das ist ja eigentlich nicht erlaubt. Oder habe ich hier
> irgendwie falsch aufgelöst?
>
> Viele Grüße,
> Kalka
>
> (Danke für die schnellen Beantwortungen *hut ab*)
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