existenz identische abildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wir betrachten einen Homomorphismus f : V --> W von K - Vektorräumen. Zeugen sie : Es existiert genau dann eine lineare abbildung g : W --> V mit f [mm] \circ [/mm] G = idV wenn ker(f)={0} gilt. |
So, ich habe den obigen Beweis zu führen und komme bei der Rückrichtung an einer Stelle einfach nicht weiter.
Erstmal wollte ich gern wissen, ob die "Hinrichtung" so stimmt:
Es existiert eine solche Abbildung g mit f [mm] \circ [/mm] g = idV. Also muss g die Umkehrabbildung zu f sein, also f^(-1). Da eine solche abbildung existiert, muss f bijektiv sein, also auch injektiv. [mm] \Rightarrow [/mm] Im kern von f ist nur die 0.
Und nun meine Überlegungen zur Rückrichtung:
Im kern von f ist nur die 0, also muss f injektiv sein.
damit f eine Umkehrabbildung besitzt, muss f auch surjektiv sein, also muss f auf jedes element in W abbilden.
Das image von f ist (klar) eine teilmenge von W.
Aber wie zeige ich jetzt, dass W auch eine Teilmenge vom image ist? (damit ich schlussfolgern kann im(f)=W also f surjektiv) an der stelle komme ich einfach nicht weiter.
wäre sehr dankbar, wenn ich da einen denkanstoß bekommen könnte, grübel schon so lange darüber...
vielen dank im voraus, die_conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Di 01.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
kann es irgendwie sein, dass die Dimensionen von [mm] V\m [/mm] und [mm] W\m [/mm] gleich sind.
Vielleicht wurde es irgendwo in der Aufgabenstellung erwähnt, oder ähliches.
Dann würde nämlich die Surjektivität aus der Injektivität folgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Di 01.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo, ich sitze über der selben Aufgabe und in der Aufgabenstellung ist nichts über die Dimension gesagt. Sie hat die Aufgabenstellung Wort wörtlich abgeschrieben. Ich komme da leider auch nicht weiter...
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> Wir betrachten einen Homomorphismus f : V --> W von K -
> Vektorräumen. Zeugen sie : Es existiert genau dann eine
> lineare abbildung g : W --> V mit f [mm]\circ[/mm] G = idV wenn
> ker(f)={0} gilt.
Hallo,
bist Du Dir sicher, daß Du die Aufgabe richtig abgeschreiben hast?
Soll es vielleicht eher [mm] g\circ f=id_V [/mm] heißen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 01.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Nein, es heißt f°g. Hab extra nochmal nachgeschaut.
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Hallo,
wie unten bereits geschrieben, gehe ich stark davon aus, daß sich in die Aufgabenstellung ein Druckfehler eingeschlichen hat, und daß es eigentlich so heißen soll:
> Wir betrachten einen Homomorphismus f : V --> W von K -
> Vektorräumen. Zeugen sie : Es existiert genau dann eine
> lineare abbildung g : W --> V mit g[mm]\circ[/mm] f = [mm] id_V [/mm] wenn
> ker(f)={0} gilt.
Du solltest die Aufgabe mit dieser Aufgabenstellung versuchen zu bearbeiten.
Eine Anmerkung zu Deinem Lösungsversuch:
aus [mm] f\circ [/mm] g=id schließt Du beherzt, daß g die Umkehrfunktion zu f ist. Das ist nicht richtig.
Schau:
es sei
[mm] g:\IR^2\to \IR^3
[/mm]
[mm] g(\vektor{x \\ y}):=\vektor{x \\ y\\0}
[/mm]
und
[mm] f:\IR^3\to \IR^2
[/mm]
[mm] f(\vektor{x \\ y\\z}):=\vektor{x \\ y}
[/mm]
Offensichtlich ist g nicht die Umkehrfunktion v. f (g ist ja nicht surjektiv)
jedoch ist [mm] f\circ g(\vektor{x \\ y})=\vektor{x \\ y} [/mm] für alle [mm] \vektor{x \\ y}\in \IR^2, [/mm] also ist [mm] f\circ g=id_{\IR^2}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Do 03.01.2008 | | Autor: | die_conny |
ich habe dem übungsleiter jetzt eine email geschrieben und in der aufgabenstellung ist tatsächlich ein fehler:
es soll g [mm] \circ [/mm] f = idV heißen.
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danke schonmal für die hilfe, habe meinen fehler jetzt erkannt und (hoffentlich richtig) korrigiert.
also meine "Hinrichtung" jetzt:
es existiert eine abbildung g : W -> V mit g [mm] \circ [/mm] f = idV
annahme:
Im kern von f wäre nicht nur die 0
sei x [mm] \in [/mm] ker(f) und x ungleich 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=0
es gilt:
g [mm] \circ [/mm] f (x) = g(f(x)) = g(0) = 0
Dies ist ein Widerspruch dazu, dass g [mm] \circ [/mm] f = idV gelten soll, denn dann darf nur die 0 auf die 0 abgebildet werden und kein weiteres Element ungleich 0 (die idtentische abbildung ist injektiv und surjektiv).
Also liegt im kern von f nur die 0.
So, soweit ist mir das ganze jetzt klar. aber mit der rückrichtung habe ich immernoch so meine probleme.
Ich kann ja immernoch sagen, dass f injektiv sein muss.
nun sage ich dass g eine beliebige abbildung von
W nach V sein soll. nun muss ich zeigen, dass g gerade so existiert, dass g [mm] \circ [/mm] f = idV gilt.
es soll also gelten:
g [mm] \circ [/mm] f (x) = x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
f(x) [mm] \in [/mm] W
sei f(x) = y [mm] \in [/mm] W
nun muss gelten: g(y)=x
und nun komme ich nicht weiter. ich bräuchte wahrscheinlich nur einen kleinen denkanstoß, in welche richtung ich denn meinen beweis führen muss, und ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen solchen denkanstoß für mich hätte ;)
vielen dank im voraus, die_conny
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> danke schonmal für die hilfe, habe meinen fehler jetzt
> erkannt und (hoffentlich richtig) korrigiert.
>
> also meine "Hinrichtung" jetzt:
>
> es existiert eine abbildung g : W -> V mit g [mm]\circ[/mm] f = idV
>
> annahme:
> Im kern von f wäre nicht nur die 0
>
> sei x [mm]\in[/mm] ker(f) und x ungleich 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=0
>
> es gilt:
> g [mm]\circ[/mm] f (x) = g(f(x)) = g(0) = 0
>
> Dies ist ein Widerspruch dazu, dass g [mm]\circ[/mm] f = idV gelten
> soll, denn dann darf nur die 0 auf die 0 abgebildet werden
> und kein weiteres Element ungleich 0 (die idtentische
> abbildung ist injektiv und surjektiv).
>
> Also liegt im kern von f nur die 0.
Hallo,
ja, so kannst Du das machen.
Ich würde es sogar ohne diesen Widerspruch machen:
[mm] x\in [/mm] Kernf ==>0=f(x) ==> 0=g(f(x)=x, also liegt nur die Null im Kern.
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> So, soweit ist mir das ganze jetzt klar. aber mit der
> rückrichtung habe ich immernoch so meine probleme.
>
> Ich kann ja immernoch sagen, dass f injektiv sein muss.
Auf jeden Fall!
(Du solltest für eventuelle Klausuren o.ä. Ereignisse auch zeigen können, daß kernf=0 <==> f injektiv ist.)
Die benötigte Funktion g definierst Du Dir jetzt kurzerhand wie folgt:
g:W [mm] \to [/mm] V
g(w):=v mit f(v)=w
Du hast nun folgendes zu tun:
1. Zu zeigen, daß diese Funktion wohldefiniert ist, daß also das v, welches dem w zugeordnet wird, eindeutig ist und man nicht etwa die Auswahl zwischen [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] hat.
2. Die Linearität v. g glaubhaft machen.
3. Nachzuweisen, daß diese Funktion g tatsächlich das Geforderte leistet, daß also [mm] g\circ f=id_V [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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Dankeschön ,das war der denkanstoß, den ich brauchte ;)
1. folgt die wohldefiniertheit nicht direkt daraus, dass g ja eine abbildung sein soll? weil eine abb. ist ja immer wohldefiniert? oder muss ich das extra noch zeigen?
zu 3.
also ich habe ja festgelegt, dass g(w) = v wenn f(v) = w
sei nun dieses v beliebig, dann gilt:
g [mm] \circ [/mm] f (v) = g (f(v)) = g(w) = v
dies bedeutet ja gerade, dass g [mm] \circ [/mm] f = id V
reicht das so?
zu 2.
hier komme ich noch nicht bis zum schluss
also zu zeigen ist ja, dass g(w1 + w2)= g(w1) + g(w2) und t*g(w1)=g(t*w1)
wäre f nun surjektiv, so wäre das ja ganz einfach, weil dann ja jedes w in W ein Urbild in f hat, denn dann könnte ich sagen:
sei g(w1)=v1 und g(w2)=v2
g(w1 + w2)= g(f(v1+v2)) (denn fi st ja linear)
= v1 + v2 = g(w1) + g(w2)
und analog dann für t*g(w1)
aber ich habe probleme zu zeigen, dass f surjektiv ist oder es irgendwie anders zu zeigen...
wie kann ich das denn machen?
Und ich habe ja auch noch nirgendwo mit einbezogen, dass im kern von f nur die 0 liegt, was ja auch nicht sein kann?
wäre für nochmalige hilfe sehr dankbar ;)
also danke im voraus, die_conny
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> Dankeschön ,das war der denkanstoß, den ich brauchte ;)
Hallo,
das ist schön.
Bei Durchsicht Deiner Frage sehe ich, daß ich die Hälfte vergessen habe vorhin, und aß Du gut mitdenkst.
Du schreibst
> wäre f nun surjektiv, so wäre das ja ganz einfach,
Ich Depp habe g "nur halb" definiert! die Abbildung ist doch für [mm] w\not\in [/mm] Bildf undefiniert!!!
Gemeint hatte ich:
g: [mm] W\to [/mm] V
[mm] g(w):=\begin{cases} v, & \mbox{für } f(v)=w \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } w \not\in Bildf \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Ich denke, daß sich hiermit die Schwierigkeiten verringern...
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> 1. folgt die wohldefiniertheit nicht direkt daraus, dass g
> ja eine abbildung sein soll? weil eine abb. ist ja immer
> wohldefiniert? oder muss ich das extra noch zeigen?
Ja, Du mußt das zeigen!
Du mußt zeigen, daß aus [mm] g(w)=v_1 [/mm] und [mm] g(w)=v_2 [/mm] folgt, daß [mm] v_1=v_2, [/mm] daß also die Zuordnung des Funktionswertes eindeutig ist - und genau an dieser Stelle hat die Injektivität v. f große Bedeutung.
Wie wolltest Du w einen eindeutigen Funktionswert zuweisen, wenn [mm] f(v_1)=w [/mm] und [mm] f(v_2)=w [/mm] wäre?
> zu 3.
> also ich habe ja festgelegt, dass g(w) = v wenn f(v) = w
>
> sei nun dieses v beliebig,
und sei f(v)=w.
> dann gilt:
>
> g [mm]\circ[/mm] f (v) = g (f(v)) = g(w) = v,
denn es ist f(v)=w.
> dies bedeutet ja gerade, dass g [mm]\circ[/mm] f = id V
>
> reicht das so?
Jetzt reicht's.
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> zu 2.
> hier komme ich noch nicht bis zum schluss
>
> also zu zeigen ist ja, dass g(w1 + w2)= g(w1) + g(w2) und
> t*g(w1)=g(t*w1)
>
> wäre f nun surjektiv,
Jetzt könnt's klappen.
Gruß v. Angela
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Okay, ich glaube, jetzt hab ichs ;)
Also zur wohldefiniertheit:
sei g(w)=v1 und g(w) = v2
für wohldefiniertheit muss gelten: v1 = v2
1. Fall:
w [mm] \in [/mm] im(f) => f(v1)=w und f(v2)=w
da f injektiv ist folgt automatisch: v1=v2
2. Fall:
w [mm] \not\in [/mm] im(f) => g(w)=v1=0 und g(w)=v2=0
also gilt v1=v2=0
Also ist g wohldefiniert.
[u]Nun zur Linearität von g:[u]
es soll gelten: g(w1 + w2)= g(w1) + g(w2)
seien g(w1)=v1 und g(w2)=v2
1.Fall:
w1+w2 [mm] \in [/mm] im(f)
g(w1+w2)=g(f(v1)+ f(v2)) = g(f(v1+v2))=v1 + v2 = g(w1) + g(w2)
2.Fall:
w1+w2 [mm] \not\in [/mm] im(f)
=> entweder w1 [mm] \not\in [/mm] im(f) oder w2 [mm] \not\in [/mm] im(f) oder w1 und w2 [mm] \not\in [/mm] im(f)
wenn nur w1 oder w2 nicht in im(f) liegt:
o.B.d.A.: w1 [mm] \not\in [/mm] im(f), w2 [mm] \in [/mm] im(f)
=> g(w1)=0 und g(w2)=v2
g(w1+w2)=g(0 + f(v2))= g(f(0) + f(v2))=g(f(0+v2)) = 0 + v2 = g(w1) + g(w2)
wenn w1 [mm] \not\in [/mm] im(f) und w2 [mm] \not\in [/mm] im(f) :
g(w1)=g(w2)=0
g(w1+w2)=g(0 + 0)= g(f(0) + f(0)) = g(f(0+0)) = g(f(0))= 0 =0+0= g(w1) + g(w2)
so, dann soll gelten:
t*g(w1) = g(t*w1)
1.Fall:
w1 [mm] \in [/mm] im(f):
=> f(v1) = w1
=> g(t*w1)=g(t*f(v1)) = g(f(t*w1)) = t*w1=t*g(v1)
2.Fall:
w1 [mm] \not\in [/mm] im(f)
=> g(w1)=0
=> t* g(w1) = t*g(f(0))= t* 0 = t* f(0) = f(t*0)= g(f(t*0))
ich wollte fragen, ob das nun so komplett richtig ist?
danke nochmal für die hilfe, hat mir echt weiter geholfen!
die_conny
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> 2.Fall:
>
> w1+w2 [mm]\not\in[/mm] im(f)
>
> => entweder w1 [mm]\not\in[/mm] im(f) oder w2 [mm]\not\in[/mm] im(f) oder w1
> und w2 [mm]\not\in[/mm] im(f)
Hallo,
hierfür solltest Du noch eine kl. Begründung spendieren.
Der Rest sieht sehr richtig aus, ich habe aber nicht jedes Strichlein geprüft.
Gruß v. Angela
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