exakte sequenz von VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:10 Fr 23.04.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei [mm] \{0\} \to V_{1} \to [/mm] ... [mm] \to V_{n} \mapsto \{0\} [/mm] eine exakte Sequenz von Vektorräumen endlicher Dimension.
Zeige:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})=0
[/mm]
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[mm] \varphi_{i}: V_{i} \to V_{i+1}
[/mm]
Nach dem Dimensionssatz:
[mm] dim(V_{i})=dim(im(\varphi_{i}))+dim(ker(\varphi_{i})) [/mm] (DS)
Nach Exaktheit:
[mm] im(\varphi_{i-1})=ker(\varphi_{i}) [/mm] (EX)
Gilt aber folgendes???:
[mm] dim(im(\varphi_{n})=0 [/mm] da [mm] \varphi: V_{n} \mapsto \{0\} [/mm] (*)
und [mm] dim(ker(\varphi_{1})=0, [/mm] da [mm] \varphi_{1} [/mm] injektiv??? (**)
das bild von [mm] \{0\} [/mm] ist der kern von [mm] \varphi_{1} [/mm] ???
Ich zeige dann für m beliebig:
[mm] \summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m})
[/mm]
IA: Sei m=1
[mm] \summe_{i=1}^{1}(-1)^{i}*dim(V_{i})
[/mm]
[mm] =-dim(V_{i})
[/mm]
[mm] =-dim(ker(\varphi_{1}))-dim(im(\varphi_{1})) [/mm] wegen (DS)
[mm] =-dim(im(\varphi_{1})) [/mm] wegen (**)
[mm] =(-1)^{1}*dim(im(\varphi_{1}))
[/mm]
IS: m [mm] \to [/mm] m+1
[mm] \summe_{i=1}^{m+1}(-1)^{i}*dim(V_{i})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})+(-1)^{m+1}*dim(V_{m+1})
[/mm]
[mm] =(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m}))+(-1)^{m+1}*(dim(im(\varphi_{m+1}))+dim(ker(\varphi_{m+1}))) [/mm] wegen IV und (DS)
[mm] =(-1)^m*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1})) [/mm] wegen (EX)
[mm] =(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Formel gilt für alle m
Sei also m=n
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*dim(im(\varphi_{n}))
[/mm]
=0 wegen (*)
Ich hoffe, dass das nicht komplett falsch ist...
Aber vor allem bei (*) und (**) hab ich Bedenken...
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> Sei [mm]\{0\} \to V_{1} \to[/mm] ... [mm]\to V_{n} \mapsto \{0\}[/mm] eine
> exakte Sequenz von Vektorräumen endlicher Dimension.
> Zeige:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})=0[/mm]
>
> [mm]\varphi_{i}: V_{i} \to V_{i+1}[/mm]
> Nach dem Dimensionssatz:
> [mm]dim(V_{i})=dim(im(\varphi_{i}))+dim(ker(\varphi_{i}))[/mm] (DS)
> Nach Exaktheit:
> [mm]im(\varphi_{i-1})=ker(\varphi_{i})[/mm] (EX)
>
> Gilt aber folgendes???:
> [mm]dim(im(\varphi_{n})=0[/mm] da [mm]\varphi: V_{n} \mapsto \{0\}[/mm] (*)
Hallo,
ja, das gilt aus dem angegebenen Grund.
> und [mm]dim(ker(\varphi_{1})=0
Ja, weil \varphi_0 die Nullabbildung ist, also bild(\vaprphi_0)=\{0\}.
> [/mm] da [mm]\varphi_{1}[/mm] injektiv???
Nicht "da", sondern "deshalb" ist [mm] \varphi_1 [/mm] injektiv.
> (**)
> das bild von [mm]\{0\}[/mm] ist der kern von [mm]\varphi_{1}[/mm] ???
>
> Ich zeige dann für m beliebig:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m})[/mm]
>
> IA: Sei m=1
> [mm]\summe_{i=1}^{1}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
> [mm]=-dim(V_{i})[/mm]
> [mm]=-dim(ker(\varphi_{1}))\red{+}dim(im(\varphi_{1}))[/mm] wegen (DS)
> [mm]=-dim(im(\varphi_{1}))[/mm] wegen (**)
> [mm]=(-1)^{1}*dim(im(\varphi_{1}))[/mm]
>
> IS: m [mm]\to[/mm] m+1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m+1}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})+(-1)^{m+1}*dim(V_{m+1})[/mm]
>
> [mm]=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m}))+(-1)^{m+1}*(dim(im(\varphi_{m+1}))+dim(ker(\varphi_{m+1})))[/mm]
> wegen IV und (DS)
>
> [mm]=(-1)^m*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1}))[/mm]
> wegen (EX)
> [mm]=(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1}))[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Formel gilt für alle m
>
> Sei also m=n
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
> [mm]=(-1)^{n}*dim(im(\varphi_{n}))[/mm]
> =0 wegen (*)
>
> Ich hoffe, dass das nicht komplett falsch ist...
Es ist komplett richtig.
Gruß v. Angela
> Aber vor allem bei (*) und (**) hab ich Bedenken...
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